Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

8.1 Dielektrika im elektrostatischen Feld
Wir erhalten mit Gleichung (8.7)
∞∑ B l (l + 1)
−
R l+2 P l (µ) −
oder
l=0
l=0
∞∑
lA l R l−1 P l (µ) =
l=0
∞∑
∞∑
− (l + 1)A l R l−1 P l (µ) − lA l R l−1 P l (µ) = −4πσ b (µ) ,
l=0
∞∑
(2l + 1)A l R l−1 P l (µ) = 4πσ b (µ) .
l=0
Mit den Orthonormalitätsrelationen der Legendre-Polynome folgt
∞∑
∫ 1
(2l + 1)A l R l−1 dµP l (µ)P m (µ)
l=0
=
−1
∞∑
l=0
(2l + 1)A l R l−1 2
2l + 1 δ l,m
= 2A m R m−1 = 4π
also A l = 2π
R l−1 ∫ 1
−1
∫ 1
−1
dµ σ b (µ)P m (µ) ,
dµ σ b (µ)P l (µ) . (8.8)
Speziell für σ b (µ) = P cos θ = P µ = P P 1 (µ) erhalten wir A l = 0 ∀l ≠ 1
A 1 = 2πP
∫ 1
−1
dµP 2 1 (µ) = 2πP
und damit nach Gleichung (8.7) B l = 0 ∀l ≠ 1 und
Für das Potential folgt damit
∫ 1
−1
B 1 = A 1 R 3 = 4π 3 P R3 .
dµµ 2 = 4π 3 P ,
V i (r, µ) = 4πP r cos θ, r ≤ R (8.9)
3
4πP R3
und V a (r, µ) =
3r 2 cos θ, r > R . (8.10)
Weil r cos θ = z ist das elektrische Feld innerhalb der Kugel gleichförmig,
⃗E = − ⃗ ∇V = − 4πP
3 ⃗e z = − 4π 3 ⃗ P , r ≤ R . (8.11)
Außerhalb der Kugel ist das Potential identisch zu dem eines Dipols im Ursprung,
V a =
mit dem Dipolmoment ⃗p = 4πR 3 ⃗ P /3. Der Verlauf der Feldlinien des elektrischen Felds ist
in Abb. 8.6 skizziert.
⃗p · ⃗r
r 3
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