Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3.12 Lösung der Laplace-Gleichung durch Separationsansatz
mit der allgemeinen Lösung (A, B = const.)
R(r) = Ar l + Br −(l+1) . (3.138)
Für den Winkelanteil Y (θ, φ) gilt nach (3.137) die Differentialgleichung
oder ausgeschrieben
1
sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
Führen wir µ = cos θ ein, so gilt
ˆDY (θ, φ) + l(l + 1)Y (θ, φ) = 0 ,
)
∂Y (θ, φ)
+ 1 ∂ 2 Y (θ, φ)
∂θ sin 2 θ ∂φ 2 + l(l + 1)Y (θ, φ) = 0 . (3.139)
so dass
∂
∂µ = 1
∂µ
∂θ
∂
∂θ
∂
∂θ = − 1
sin θ
∂
∂θ ,
= − sin θ ∂
∂µ = −√ 1 − µ 2 ∂
∂µ ,
und Gleichung (3.139) reduziert sich auf
oder
[
∂ (1
− µ
2 ) ∂Y
∂µ ∂µ
(
1 − µ
2 ) ( ∂
∂µ
]
+ 1
∂ 2 Y
1 − µ 2 + l(l + 1)Y
∂φ2 ]
)
= 0
+ l(l + 1)Y
[ (1
− µ
2 ) ∂Y
∂µ
= − ∂2 Y
∂φ 2 . (3.140)
Zur Lösung von Gleichung (3.140) machen wir erneut einen Separationsansatz
und erhalten damit aus Gleichung (3.140)
1 − µ 2
P (µ)
Y (µ, φ) = P (µ)Q(φ) (3.141)
( [ ∂ (1
− µ
2 ) ]
)
∂P
+ l(l + 1)P = − 1 ∂ 2 Q(φ)
∂µ ∂µ
Q(φ) ∂φ 2 = m 2 (3.142)
mit der Separationskonstanten m 2 , da die linke Seite der Gleichung (3.142) nur von µ abhängt
und die rechte Seite nur von φ abhängt.
Für den φ-Anteil finden wir dann
d 2 Q(φ)
dφ 2 + m 2 Q(φ) = 0
mit der Lösung Q(φ) = A 1 exp(ımφ)
O.B.d.A. setzen wir A 1 = 1, so dass
Q(φ) = exp(ımφ) . (3.143)
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