Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2.6 Integralrechnung mit Vektoren
z
k
i
j
y
x
Abbildung 2.8: Der Einheitsquader
Um das Oberflächenintegral gemäß der rechten Seite von Gleichung (2.101) zu bestimmen,
betrachten wir getrennt alle sechs Seiten des Einheitsquaders (Abbildung 2.8):
(i) Auf der Voderseite gilt d⃗a = dydz⃗i und x = 1, so dass ⃗v · d⃗a = y 2 dydz und wir erhalten
∫ ∫ 1 ∫ 1
⃗v · d⃗a = dz y 2 dy = 1 3 .
(i)
0
(ii) Auf der Rückseite gilt d⃗a = −dydz⃗i und x = 0, so dass ⃗v · d⃗a = −y 2 dydz und wir
erhalten
∫
∫ 1 ∫ 1
⃗v · d⃗a = − dz y 2 dy = − 1 3 .
(ii)
0
(iii) Auf der rechten Seite gilt d⃗a = dxdz⃗j und y = 1, so dass ⃗v ·d⃗a = (2xy +z 2 )dxdz| y=1 =
(2y + z 2 )dxdz und wir erhalten
∫
∫ 1 ∫ 1
⃗v · d⃗a = dz dx(2y + z 2 )
(iii)
=
=
0
∫ 1
0
∫ 1
0
0
0
0
dz [ x 2 + z 2 x ] 1
0
dz [ 1 + z 2] =
[z + z3
3
] 1
0
= 4 3 .
(iv) Auf der linken Seite gilt d⃗a = −dxdz⃗j und y = 0, so dass ⃗v·d⃗a = −(2xy+z 2 )dxdz| y=0 =
−z 2 dxdz und wir erhalten
∫
∫ 1 ∫ 1
[ z
⃗v · d⃗a = − dz dxz 2 3
= −
3
(iv)
0
0
] 1
0
= − 1 3 . 29