Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2 Mathematische Vorüberlegungen
2.5.4 Rotation
Zur Berechnung von
rot ⃗ A = ⃗ ∇ × (A 1 ⃗e q1 + A 2 ⃗e q2 + A 3 ⃗e q3 ) = ⃗ ∇ (A 1 ⃗e q1 ) + ⃗ ∇ (A 2 ⃗e q2 ) + ⃗ ∇ (A 3 ⃗e q3 )
benutzen wir die Darstellungen (2.82). Wir erhalten für
⃗∇ × (A 1 ⃗e q1 ) = ∇ ⃗ )
×
(A 1 h 1∇q1 ⃗ = ∇ ⃗ (A 1 h 1 ) × ∇q ⃗ 1 + A 1 h 1∇ ⃗ × ∇q1 ⃗ ,
wobei wir die Produktregel (2.61) nutzen. Der zweite Term in dieser Gleichung verschwindet
gemäß Gleichung (2.67) und mit Gleichung (2.82a) folgt
⃗∇ × (A 1 ⃗e q1 ) = ∇ ⃗ (A 1 h 1 ) × ⃗e q 1
h 1
Jetzt benutzen wir die Darstellung (2.81) für grad (A 1 h 1 ) und erhalten
[
]
1 ∂ (A 1 h 1 ) 1 ∂ (A 1 h 1 ) 1 ∂ (A 1 h 1 )
⃗∇ × (A 1 ⃗e q1 ) = ⃗e q1 + ⃗e q2 + ⃗e q3 × ⃗e q 1
h 1 ∂q 1 h 2 ∂q 2 h 3 ∂q 3 h 1
= ⃗e q 2
∂ (A 1 h 1 )
− ⃗e q 3
∂ (A 1 h 1 )
. (2.87)
h 1 h 3 ∂q 3 h 1 h 2 ∂q 2
Ebenso verfahren wir mit ∇ ⃗ × (A 2 ⃗e q2 ) und ∇ ⃗ × (A 3 ⃗e q3 ) und erhalten
rot A ⃗ = ⃗e [
q 1 ∂
(A 3 h 3 ) −
∂ ]
(A 2 h 2 )
h 2 h 3 ∂q 2 ∂q 3
2.5.5 Laplace-Operator
=
+ ⃗e q 2
h 1 h 3
[ ∂
∂q 3
(A 1 h 1 ) −
+ ⃗e q 3
h 1 h 2
[ ∂
∂q 1
(A 2 h 2 ) −
⎛
1
⎝
h 1 h 2 h 3
∂ ]
(A 3 h 3 )
∂q 1 ∂ ]
(A 1 h 1 )
∂q 3
⎞
h 1 ⃗e q1 h 2 ⃗e q2 h 3 ⃗e q3
∂ ∂ ∂ ⎠
∂q 1 ∂q 2 ∂q 3
. (2.88)
A 1 h 1 A 2 h 2 A 3 h 3
Mit Gleichung (2.66) und der Gradientendarstellung (2.81) gilt für den Laplace-Operator
(
∆ψ = ∇ ⃗ · ( ∇ψ) ⃗ = ∇ ⃗ ⃗eq1 ∂ψ
· + ⃗e q 2
∂ψ
+ ⃗e )
q 3
∂ψ
. (2.89)
h 1 ∂q 1 h 2 ∂q 2 h 3 ∂q 3
Die Anwendung der Divergenzdarstellung (2.86) für
ergibt dann
∆ψ =
A ν = 1 h ν
∂ψ
∂q ν
[ ( )
1 ∂ h2 h 3 ∂ψ
+ ∂ ( )
h1 h 3 ∂ψ
+ ∂ ( )]
h1 h 2 ∂ψ
h 1 h 2 h 3 ∂q 1 h 1 ∂q 1 ∂q 2 h 2 ∂q 2 ∂q 3 h 3 ∂q 3
. (2.90)
Nach diesen allgemeinen Herleitungen betrachten wir nun als Beispiel Kugelkoordinaten.
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