Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3.6 Elektrostatische Feldenergie
∆x
l
E a
E i
Abbildung 3.5: Die Stokessche Fläche an einer Grenzfläche
wobei E ‖ ⊥ ⃗n die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes parallel zur Grenzfläche
kennzeichnet.
Die Ergebnisse (3.32) und (3.33) können kombiniert werden zu
⃗E a − ⃗ E i = 4πσ⃗n , (3.34)
wobei ⃗n der Einheitsvektor senkrecht zur Grenzfläche ist.
Das elektrostatische Potential Φ ist stetig an jeder Grenzfläche, weil nach Gleichung (3.24)
Φ a − Φ i = −
∫ b
a
⃗E · d⃗s .
Für verschwindend kleine Weglänge ds → 0 folgt dann
Φ a = Φ i . (3.35)
Aber der Gradient von Φ besitzt wegen ⃗ E = − ⃗ ∇Φ die Unstetigkeit von ⃗ E. Mit Gleichung
(3.34) gilt
oder
wobei
⃗∇Φ a − ⃗ ∇Φ i = −4πσ⃗n ,
∂Φ a
∂n − ∂Φ i
∂n
= −4πσ (3.36)
∂Φ
∂n = ∇Φ ⃗ · ⃗n (3.37)
die “Normalen-Ableitung” von Φ ist (d.h. die Änderung von Φ in Richtung senkrecht zur
Oberfläche).
Gleichung (3.36) begründet die in Kap. 3.5.1 angenommenen Stetigkeit von dΦ/dr bei der
homogenen Kugel, da diese keine Flächenladung an der Grenzfläche aufweist.
3.6 Elektrostatische Feldenergie
Nach Gleichung (3.6) wird im elektrischen Feld ⃗ E (⃗r) am Ort ⃗r auf die Punktladung q die
Kraft ⃗ K (⃗r) = q ⃗ E (⃗r) ausgeübt. Um die Punktladung im Feld ⃗ E von Punkt a nach Punkt b
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