Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3 Elektrostatik
wobei die Entwicklungskoeffizienten a n mit Hilfe der Orthonormalitätsrelation (3.149) berechnet
werden. Es gilt offensichtlich
∫ 1
−1
dµf(µ)P l (µ) =
=
∞∑
∫ 1
a n dµP n (µ)P l (µ)
n=0
−1
∞∑
∫ 1
a n δ n,l
n=0
oder a l = 2l + 1
2
∫ 1
−1
Benutzen wir wieder den Index n, so folgt
Es gilt also die Entwicklung
f(µ) =
a n = 2n + 1
2
∞∑
n=0
−1
dµP 2
l (µ) =
dµf(µ)P l (µ) .
∫ 1
−1
2a l
2l + 1
dµf(µ)P n (µ) . (3.152)
∫
2n + 1
1
P n (µ) dµf(µ)P n (µ) . (3.153)
2
−1
3.12.4 Zylindersymmetrisches Beispiel: Leitende Kugel im homogenen Feld
Als Beispiel betrachten wir, wie in Abbildung 3.17 skizziert, eine leitende Kugel vom Radius
r 0 in einem vorher homogenen Feld ⃗ E 0 = E 0 ⃗e z mit E 0 = const., d.h.
A 0 (r → ∞) = −E 0 z .
Drücken wir z = r cos θ = rµ durch Kugelkoordinaten aus, so gilt mit Gleichung (3.83) als
Randbedingung
A 0 (r → ∞) = −E 0 rµ = −E 0 rP 1 (µ) . (3.154)
Die allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung (3.148) im Außenraum r ≥ r 0
A 0 (r ≥ r 0 , µ) =
∞∑
∞∑
a n r n P n (µ) + b n r −(n+1) P n (µ)
n=0
muss für r → ∞ gleich der Randbedingung (3.154) sein. Daraus folgt, dass
und a 1 = −E 0 . Wir finden also
n=0
a 0 = 0, a n = 0 ∀n > 1
A 0 (r ≥ r 0 , µ) = b ( )
0
r + b1
r 2 − E 0r P 1 (µ) +
∞∑
n=2
P n (µ)
b n . (3.155)
rn+1 84