Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2 Mathematische Vorüberlegungen
Setzen wir g(k) nach Gleichung (2.126) in Gleichung (2.127) ein und benutzen wir die
Darstellung (2.114) für f(x) durch die δ-Funktion, so folgt mit Gleichung (2.122)
f(x) = 1
2π
oder δ (x − x 0 ) = 1
2π
Speziell für x 0 = 0 gilt dann
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
dx 0 f(x 0 )
∫ ∞
−∞
dx 0 f(x 0 )δ (x − x 0 )
−∞
dk exp (ık (x − x 0 ))
dk exp (ık (x − x 0 )) . (2.128)
δ(x) = 1 ∫ ∞
dk exp (ıkx) , (2.129)
2π −∞
d.h. durch Vergleich mit (2.126) folgt, dass g(k) = (2π) −1/2 die Fouriertransformierte der
eindimensionalen Delta-Funktion ist.
(e) Delta-Funktion mit allgemeinerem Argument: Ohne Beweis vermerken wir, dass für
eine beliebige Funktion h(x) im Argument der Delta-Funktion gilt
∑
n
δ [H(x)] =
δ(x − x n)
= ∑ δ(x − x n )
∣ dh∣
∣ dh
dx
n dx (x = x n) ∣ , (2.130)
wobei die x n durch die Nullstellen h(x n ) = 0 der Funktion h(x) gegeben sind.
Als Spezialfälle folgen sofort die Beziehungen
und δ(x 2 − a 2 ) =
δ(ax) = 1
|a| δ(x)
2.7.5 Die dreidimensionale Delta-Funktion
1
[δ(x − a) + δ(x + a)] .
2|a|
Wir verallgemeinern die eindimensionale auf die dreidimensionale Delta-Funktion durch
δ 3 (⃗r) ≡ δ(x)δ(y)δ(z) , (2.131)
wobei ⃗r = x⃗i + y⃗j + z ⃗ k der Ortsvektor vom Ursprung (0, 0, 0) zum Punkt P (x, y, z) ist.
Die dreidimensionale Delta-Funktion δ 3 (⃗r) ist überall gleich Null außer im Ursprung (0, 0, 0).
Das Volumenintegral über den gesamten Raum ist
∫
∫ ∞ ∫ ∞ ∫ ∞
dV δ 3 (⃗r) = dx dy dzδ(x)δ(y)δ(z) = 1 .
Gesamter Raum
−∞
In Verallgemeinerung von Gleichung (2.114) gilt für den festen Punkt ⃗r 0
∫
dV f (⃗r) δ 3 (⃗r − ⃗r 0 ) = f (⃗r 0 ) . (2.132)
Gesamter Raum
Jetzt können wir auch die Diskrepanz bei der Berechnung der Divergenz von ⃗e r /r 2 (siehe
Kap. 2.7.1) auflösen: es war
−∞
−∞
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