Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3.9 Entwicklung des skalaren Potentials einer statischen,begrenzten Ladungsverteilung nach Multipolen
auf die erzeugende Funktion T (µ, s) die folgende Darstellung ergibt:
P n (µ) =
wobei [n/2] =
[n/2]
Ohne Beweis geben wir auch die Formel von Rodrigues an:
∑
(−1) k (2n − 2k)!
2 n k!(n − k)!(n − 2k)! µn−2k (3.80)
k=0
{
n/2 für n gerade
(n − 1)/2 für n ungerade .
d n
P n (x) = 1 (
x 2
2 n n! dx n − 1 ) n
. (3.81)
Mit diesen Darstellungen ergibt sich sofort für n = 0, 1, dass
P 0 (µ) = (−1) 0 0!
1 · 1 · 1 · 1 µ0 = 1 (3.82)
P 1 (µ) = (−1) 0 2!
2 · 1 · 1! · 1! µ = µ . (3.83)
Aus der Rekursionsbeziehung (3.72) folgen daraus alle höheren Legendre-Polynome für n ≥ 2;
z. B. finden wir aus (3.72) mit n = 1:
2P 2 = 3µP 1 − P 0 = 3µ 2 − 1 ,
d.h. P 2 (µ) = 1 (
3µ 2 − 1 ) .
2
(3.84)
Mit n = 2 ergibt diese Rekursionsbeziehung
3P 3 = 5µP 2 − 2P 1 = 5µ 2
(
3µ 2 − 1 ) − 2µ ,
oder P 3 (µ) = 1 (
5µ 3 − 3µ ) . (3.85)
2
In Abbildung 3.10 sind die ersten 4 Legendre-Polynome gezeichnet.
Orthogonalität: Wir starten von der Legendreschen Differentialgleichung (3.78) für den Index
n,
[
d (1
− µ
2 ) ]
d
dµ dµ P n(µ) + n(n + 1)P n (µ) = 0 ,
und für den Index l ≠ n,
d
dµ
[ (1
− µ
2 ) ]
d
dµ P l(µ) + l(l + 1)P l (µ) = 0 .
Wir multiplizieren die erste Gleichung mit P l (µ) und die zweite Gleichung mit P n (µ) und
bilden dann die Differenz der Ergebnisse:
[n(n + 1) − l(l + 1)] P l (µ)P n (µ)
= P l (µ) d [ (1
− µ
2 ) ]
d
dµ dµ P n(µ)
= d [ (1
− µ
2 ) P l (µ) dP n(µ)
dµ
dµ
− P n (µ) d [ (1
− µ
2 ) d
dµ
]
− ( 1 − µ 2) P n (µ) dP l(µ)
dµ
]
dµ P l(µ)
.
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