Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2 Mathematische Vorüberlegungen
Angewandt auf ein Skalarfeld Φ erhält man das skalare Feld ⃗ B · ( ⃗ ∇Φ):
(
⃗B · ⃗ ∇
)
Φ =
3∑
i=1
B i
∂
Φ =
∂x i
3∑
i=1
B i
∂Φ
∂x i
= ⃗ B · ( ⃗ ∇Φ) . (2.42)
Angewandt auf den Vektor ⃗ C erhält man
(
⃗B · ⃗ ∇
)
⃗C =
3∑
i=1
B i
( 3∑
∂ C ⃗ =
∂x i
i=1
B i
∂C 1
∂x i
,
3∑
i=1
B i
∂C 2
∂x i
,
3∑
i=1
)
∂C 3
B i
∂x i
(2.43)
einen neuen Vektor.
Bei der Rechnung (2.43) ist die Reihenfolge wichtig:
(
⃗B · ⃗ ∇
)
⃗C ≠ ⃗ C
(
⃗B · ⃗ ∇
)
.
Der Ausdruck ⃗ B · ( ⃗ ∇ ⃗ C) ist nicht definiert.
Neben der skalaren Verknüpfung (2.41) können wir auch das Kreuzprodukt bilden:
( ⃗ B × ⃗ ∇) i =
3∑
j,k=1
Die Anwendung dieses Operators auf ein Skalarfeld Φ ergibt
[( ) [ ( 3∑
⃗B × ∇ ⃗ Φ
]i = ⃗B × ⃗∇Φ
)]i =
Die Zweifachanwendung des Gradienten-Operators
∂
ɛ ijk B j . (2.44)
∂x k
j,k=1
ɛ ijk B j
∂Φ
∂x k
. (2.45)
⃗∇ · ⃗∇ =
3∑
i=1
∂
∂x i
( ∂
∂x i
)
=
3∑
∂ 2
∂x 2 i=1 i
≡ ∇ 2 ≡ ∆ (2.46)
ergibt den skalaren sogenannten Laplace-Operator ∆, der sowohl auf Skalare als auch auf
Vektoren angewandt werden kann:
∆Φ = ∇ 2 Φ =
3∑
i=1
∆ ⃗ B = ∇ 2 ⃗ B =
( 3∑
i=1
∂ 2 Φ
∂x 2 i
, (2.47)
∂ 2 B 1
∂x 2 ,
i
3∑
i=1
∂ 2 B 2
∂x 2 ,
i
3∑
i=1
∂ 2 B 3
∂x 2 i
)
. (2.48)
14