Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

5.7 Impulssatz der Elektrodynamik
Damit erhalten wir
( )
⃗E × ⃗∇ × E ⃗
( )
⃗B × ⃗∇ × B ⃗
= 1 2 ⃗ ∇ ( E 2) −
(
⃗E · ⃗ ∇
)
⃗E ,
= 1 2 ⃗ ∇ ( B 2) −
(
⃗B · ⃗ ∇
)
⃗B
und Gleichung (5.61) reduziert sich auf
⃗f =
1
[( ) ( ) ( )
⃗∇ · E ⃗ ⃗E + ⃗E · ∇ ⃗ ⃗E + ⃗∇ · B ⃗
4π
∂
( )
⃗E × B ⃗
− 1 ∇
8π ⃗ ( E 2 + B 2) − 1
4πc
Wir definieren den Maxwellschen Spannungstensor
ˆT = T ij ≡ 1
4π
mit i, j ∈ [1, 2, 3]; E 1 = E x , E 2 = E y
und E 3 = E z .
∂t
· ⃗B
( ) ]
+ ⃗B · ∇ ⃗ ⃗B
. (5.62)
[
E i E j + B i B j − 1 (
E 2 + B 2) ]
δ ij
2
Das Skalarprodukt dieses Tensors mit einem Vektor ⃗a ergibt wieder einen Vektor:
(
⃗a · ˆT
)j = ∑
a i T ij .
i=x,y,z
(5.63)
Speziell gilt
(
⃗∇ · ˆT
)
j
= ∑
i=x,y,z
= 1
4π
+
∂
T ij
∂x i
[ (⃗∇ )
· E ⃗ E j +
(
⃗B · ⃗ ∇
)
B j − 1 2 ∇ j
( ) ( )
⃗E · ∇ ⃗ E j + ⃗∇ · B ⃗ B j
(
E 2 + B 2)] ,
so dass für Gleichung (5.62) mit dem Poynting-Vektor (5.55) folgt
Die Gesamtkraft im Volumen V ist dann
∫
⃗F = d 3 r f ⃗ = − 1 ∫
∂
V
c 2 ∂t
= − 1 ∫
d
c 2 dt
∮
also F ⃗ =
O(V )
⃗f = ⃗ ∇ · ˆT −
V
V
∫
d 3 r S ⃗ +
∮
d 3 r S ⃗ +
d ⃗ f · ˆT − 1 c 2 d
dt
1
c 2 ∂ ⃗ S
∂t . (5.64)
V
d 3 r
O(V )
∫
V
(
⃗∇ · ˆT
)
d ⃗ f · ˆT ,
d 3 r ⃗ S . (5.65)
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