Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2.8 Helmholtz-Theorem
(1) div (⃗e r /r 2 ) gleich Null überall außer am Ursprung und
(2) das Integral über jedes Volumen, das den Ursprung enthielt, war gleich der Konstanten
4π.
Das sind genau die Eigenschaften der dreidimensionalen Delta-Funktion, multipliziert
mit dem Faktor 4π, also
⃗∇ · ⃗e r
r 2 = 4πδ3 (⃗r) , (2.133)
oder allgemeiner mit ⃗ R ≡ ⃗r − ⃗r 0 ,
ˆ⃗R = ⃗ R/| ⃗ R|
ˆ⃗R
⃗∇ r ·
∣R
⃗ ∣ 2 = ∇ ⃗ ⃗R
r ·
∣R
⃗ ∣ 3 = ∇ ⃗ ⃗R
( )
r ·
R 3 = 4πδ3 R ⃗
wobei sich der Gradient auf die Ableitung nach ⃗r bezieht.
Benutzen wir Beziehung (2.94) für ψ = 1/R, d.h.
, (2.134)
( ) 1
⃗∇ r
R
=
( )
∇ ⃗ 1
ˆ⃗R
r = −
r − r 0 (r − r 0 ) 2 = − R ⃗
R 3 , (2.135)
so folgt ∇ ⃗ 2 1
r
R = ( )
−4πδ3 R ⃗ . (2.136)
2.8 Helmholtz-Theorem
Ist durch Festlegung der Divergenz und der Rotation eines Vektorfeldes dieses eindeutig
bestimmt?
Sei z.B: ⃗ ∇ · ⃗F = D und sei ⃗ ∇ × ⃗ F = ⃗ C mit ⃗ ∇ · ⃗C = ⃗ ∇ · ( ⃗ ∇ × ⃗ F ) = 0. Können wir damit
das Vektorfeld ⃗ F eindeutig festlegen, d.h. existiert eine Lösung und ist sie eindeutig?
Der Beweis der Existenz geschieht durch Konstruktion der Lösung durch
mit der skalaren Funktion
und der Vektorfunktion
⃗F = − ⃗ ∇U + ⃗ ∇ × ⃗ W (2.137)
U (⃗r) = 1 ∫
4π V
⃗W (⃗r) = 1 ∫
4π V
′
mit R ⃗ = ⃗r − ⃗r
( )
D ⃗r ′
dV
′
R
dV ′ ⃗ C
(
⃗r ′)
R
(2.138)
(2.139)
. (2.140)
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