Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3 Elektrostatik
zu verschieben, muss die Arbeit W ab mit der Gegenkraft − ⃗ K geleistet werden:
∫ b
∫ b
W ab = − ⃗K · d⃗r = −q ⃗E · d⃗r .
a
a
Unter Verwendung von Gleichung (3.24) erhalten wir unabhängig vom Weg
W ab = q[Φ(b) − Φ(a)] = qU b,a = −qU a,b ,
wobei die Potentialdifferenz U b,a = Φ(b) − Φ(a) als Spannung bezeichnet wird. Die Arbeit
ist dann W ab = −qU a,b . Umgekehrt kann man sagen: Die Potentialdifferenz zwischen den
Punkten a und b ist gleich der Arbeit pro Einheitsladung, die man aufwenden muss, um das
Ladungsteilchen von a nach b zu transportieren.
3.6.1 Energie einer Punktladungsverteilung
Wir berechnen die Arbeit, die nötig ist, um eine Ladung q n im Feld der Punktladungen
q 1 , . . . , q n−1 an den Stellen ⃗r 1 , . . . , ⃗r n−1 von ∞ nach ⃗r n zu bringen. Das Potential der n − 1
Punktladungen lautet
φ (⃗r) =
n−1
∑
j=1
q j
|⃗r − ⃗r j | .
Damit ergibt sich nach Gleichung (3.6) diese Arbeit zu
A n = q n [Φ (⃗r n ) − Φ(∞)] = q n Φ (⃗r n ) =
n−1
∑
j=1
q n q j
|⃗r n − ⃗r j |
(3.38)
(3.38) ist die Arbeit, die notwendig ist, um die Ladung q n von Unendlich zum Ort ⃗r n zu
bringen.
Stellen wir uns nun vor, dass wir nacheinander die Ladungen n 1 , n 2 , n 3 , . . . , n N von Unendlich
nach ⃗r n bringen. Die aufzuwendende Arbeit erhalten wir durch Summation von Beziehung
(3.38) zu
A =
N∑
A n (⃗r n ) =
n=2
N∑
n−1
∑
n=2 j=1
q n q j
|⃗r n − ⃗r j | . (3.39)
Der Transport der 1. Ladung braucht keine Arbeit, weil noch kein Feld vorhanden ist, gegen
das die Arbeit geleistet werden muss.
Die Doppelsumme (3.39) werten wir so aus, dass wir jedes Paar doppelt zählen und daher
durch 2 teilen müssen, d.h.
A = 1 2
N∑
n,j,n≠j
q n q j
|⃗r n − ⃗r j | ≡ W e . (3.40)
Die aufzuwendende Arbeit ist gleich der potentiellen Energie W e des Systems aus N Punktladungen.
54