Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

6.1 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
Einsetzen von (6.17) und (6.18) in Gleichung (6.8) liefert
(
∂x 2 − 1 ) ∫ ∞
]
c 2 ∂2 t f(x, t) = dk
[−k 2 + ω2
c 2 A(k) exp [ı(kx − ωt)] = 0 ,
−∞
so dass für Werte von ω und k, die die Dispersionsrelation
ω 2 = k 2 c 2 (6.19)
erfüllen, der Ansatz (6.16) tatsächlich die Lösung von Gleichung (6.8) ist
Die Amplitudenfunktion A(k) kann aus den Anfangsbedingungen f(x, t = 0) und f(x, ˙ t = 0)
erschlossen werden.
6.1.4 Potentiale und Felder von ebenen, monochromatischen Wellen
Aus Gleichung (6.15) erhält man die Potentiale und Felder in einer ebenen, monochromatischen
Welle, die sich in Richtung ⃗κ 0 ausbreitet zu
(
(a) A ⃗ ) = R ⃗A0 e ı(⃗ k·⃗r−ωt)
, (6.20)
( )
(b) Φ = R Φ 0 e ı(⃗ k·⃗r−ωt)
,
(c) ⃗ E = R
(
⃗E0 e ı(⃗ k·⃗r−ωt) ) ,
(d) und ⃗ B = R
(
⃗B0 e ı(⃗ k·⃗r−ωt) ) .
In formalen Rechnungen werden wir das Realteilzeichen R oft weggelassen und den Übergang
jeweils dann vollziehen, wenn physikalisch relevante Größen berechnet werden. Für die Maxwell-Gleichung
(6.3)
rot ⃗ E = − 1 c ∂ t ⃗ B , (6.21)
erhalten wir für die linke Seite aus (6.20c) mit ⃗ k · ⃗r = k x x + k y y + k z z = k m x m und
Summenkonvention
(
rot E ⃗ ) (
= rot E ⃗ 0 e ı(kmxm−ωt)) = ɛ jmn∂ m E 0,n e ı(kmxm−ωt)
j
j
( )
= ɛ jmn ık m E 0,n e ı(kmxm−ωt) = ı ⃗k × E ⃗
also rot ⃗ E = ı ⃗ k × ⃗ E .
Für die rechte Seite von (6.21) folgt aus (6.20d)
Gleichung (6.21) ergibt dann
− 1 c ∂ t ⃗ B = − 1 c ⃗ B 0 (−ıω)e ı(⃗ k·⃗r−ωt) = ıω c ⃗ B .
j
oder
ı ⃗ k × E ⃗ 0 = ıω B
c ⃗ 0
ω
B
c ⃗ 0 = ⃗ k × E ⃗ 0 . (6.22)
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