Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3.11 Methode der konformen Abbildung bei ebenen Problemen
beschrieben, d.h.
E x dy = E y dx . (3.124)
Mit E y = −∂ x A und E x = ∂ y A folgt dann nach Einsetzen in Gleichung (3.124)
∂A(x, y) ∂A(x, y)
dy + dx = dA(x, y)
∂y
∂x
= 0 ,
oder A(x, y) = const. (3.125)
in der w-Ebene, d.h. die Feldlinien werden durch die Gleichung A = const. beschrieben. Weil
die Äquipotentiallinien senkrecht zu den Feldlinien stehen, entsprechen die Äquipotentiallinien
der Gleichung
A 0 (x, y) = const. (3.126)
Also sind die Äquipotentiallinien durch die Gleichung Rw(η) = const. und die Feldlinien
durch die Gleichung Iw(η) = const. bestimmt.
3.11.2 Methode der konformen Abbildung
Sowohl der Realteil (A 0 ) als auch der Imaginärteil (−A) der analytischen Funktion w(η)
genügen der Poissongleichung im ladungsfreien Raum, denn nach Gleichungen (3.122) folgt
aus
dass
und aus
folgt
∂A
= − ∂A 0
∂y ∂x
∂ 2 A
∂y 2 = − ∂2 A 0
∂y∂x , (3.127)
∂A
∂x = ∂A 0
∂y
∂ 2 A
∂x 2 = ∂2 A 0
∂x∂y . (3.128)
Die Summe der Gleichungen (3.127) und (3.128) liefert dann sofort
∂ 2 A
∂x 2 + ∂2 A
∂y 2 = 0
oder ∆(−A) = 0 .
Analog zeigt man ∆A 0 = 0.
Anstatt eine Lösung der Potentialgleichung zu berechnen, sucht man aus der Klasse
der analytischen Funktionen diejenige heraus, die die Randbedingungen des betreffenden
physikalischen Problems erfüllt. Die Linien konstanten Realteils ergeben dann, wie bewiesen,
die Äquipotentiallinien, die Linien konstanten Imaginärteils ergeben die Feldlinien.
Die Suche der analytischen Funktionen w(η) geschieht meist durch intelligentes Raten.
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