Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3 Elektrostatik
Gemäß Gleichung (3.47) ergibt sich die influenzierte Oberflächenladung auf der Metallplatte
zu
σ(y, z) = − 1
∂Φ
4π ∂n ∣ = − 1
R
4π ⃗n · ⃗∇Φ| R
= − 1 ( )
⃗∇Φ 4π x
∣ = − 1
R
4π E x(x = 0, y, z)
[
]
= − q a
4π (y 2 + z 2 + a 2 ) 3/2 + a
(y 2 + z 2 + a 2 ) 3/2
qa
= −
. (3.111)
2π (y 2 + z 2 + a 2 3/2
)
Die Oberflächenladung ist maximal am Punkt (y, z) = (0, 0) auf der Metallplatte und nimmt
mit wachsendem Abstand s = √ y 2 + z 2 ab. Der Verlauf der elektrischen Feldlinien und der
Oberflächenladung ist in Abbildung 3.14 skizziert.
s
q
x
σ
Abbildung 3.14: Verlauf des elektrischen Feldes und der Oberflächenladung σ einer
Punktladung vor Metallplatte
Die Gesamtladung auf der Metallplatte ist mit Polarkoordinaten
∫
∫ ∞
∫ ∞
s
q Infl = dfσ(y, z) = 2π ds sσ(s) = −qa ds
x=0
0
0 (a 2 + s 2 ) 3/2
∫ ∞
= qa ds d (
a 2 + s 2) [
−1/2 (a
= qa 2 + s 2) ] −1/2 ∞
= −q . (3.112)
ds
0
0
Über die Influenzladung üben die Metallplatte und die Punktladung Kräfte aufeinander aus:
Die Kraft auf die Punktladung ist K ⃗ = qE ⃗ ′ ′
, wobei E ⃗ das Feld aller Ladungen außer der
Punktladung selbst ist, d.h. E ⃗ ′ ist gleich dem Feld der Bildladung, also nach (3.110)
⃗E ′ = −q ⃗r − a⃗e x
|⃗r − a⃗e x | 3 .
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