Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3.11 Methode der konformen Abbildung bei ebenen Problemen
Für ⃗r = (−a, 0, 0) folgt
⃗K = −q ⃗ E ′ = q 2 −2a⃗e x
(−2a) 3 = q2
4a 2⃗e x . (3.113)
Auf die Platte wirkt eine entgegengesetzt gleichgroße Kraft.
Übungsaufgabe:
Punktladung vor geerdeter Metallkugel: Berechnung von ⃗ E, σ und ⃗ K.
3.11 Methode der konformen Abbildung bei ebenen Problemen
Das Problem der Potentialtheorie besteht in der Lösung der Laplace-Gleichung in Raumbereichen
außerhalb der Ladungsverteilung ρ (⃗r). In diesen Bereichen folgt gemäß der elektrostatischen
Feldgleichungen (3.16) und (3.17)
wobei weiterhin gilt
so dass ⃗ E durch das Potential A 0 ausgedrückt werden kann:
div ⃗ E = 0 , (3.114)
rot ⃗ E = 0 , (3.115)
⃗E = −grad A 0 (⃗r) . (3.116)
Setzt man Gleichung (3.116) in Beziehung (3.114) ein, so folgt die Laplace-Gleichung (vergleiche
mit (3.20)).
∆A 0 = div grad A 0 = 0 , (3.117)
wobei A 0 gegebene Randbedingungen erfüllen muss.
3.11.1 Ebenes Feld
Wir beschränken uns hier auf ebene Felder, die nur von zwei kartesischen Koordinaten
abhängen. Aufgrund Gleichung (3.114) lässt sich ⃗ E wegen div rot = 0 auch durch
⃗E = rot ⃗ A ′ (3.118)
ein anderes elektrostatisches Vektor-Potential A ′ = (A ′ x, A ′ y, A ′ z) darstellen.
Bei ebenen Problemen ist o.B.d.A.
E x = E x (x, y), E y = E y (x, y), E z = 0 . (3.119)
Gemäß der Darstellung (3.118) gilt aber auch
E x = ∂A′ z
∂y − ∂A′ y
∂z ,
E y = ∂A′ x
∂z − ∂A′ z
∂x ,
und E z = ∂A′ y
∂x − ∂A′ x
∂y . 75