Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

5 Maxwell-Gleichungen
Da das skalare Potential φ(⃗r, t) ebenfalls nicht von der Geschwindigkeit ⃗v abhängt, dürfen
wir schreiben
F x = − ∂U
∂x + d ∂U
(5.76)
dt ∂v x
mit dem generalisierten Potential U ≡ eΦ − e c ⃗ A · ⃗v . (5.77)
Entsprechendes gilt für die y- und z-Komponente der Lorentz-Kraft , d.h.
F y = − ∂U
∂y + d ∂U
,
dt ∂v y
F z = − ∂U
∂z + d ∂U
,
dt ∂v z
so dass allgemein
⃗F = −∇ ⃗ ⃗r U + d ( )
⃗∇⃗v U
dt
. (5.78)
Die Gleichungen (5.76) und (5.78) erfüllen genau die in der Mechanik-Vorlesung (siehe dort
Gleichung 3.13.1)) gestellten Anforderungen an das verallgemeinerte Potential V ∗ .
Für die Lagrange-Funktion eines Teilches im elektromagnetischen Feld L = T − V ∗ folgt mit
V ∗ = U:
L = T − eΦ + e c ⃗ A · ⃗v = m 2 v2 − eΦ + e c ⃗ A · ⃗v . (5.79)
Da keine Zwangsbedingungen vorliegen, sind die verallgemeinerten Koordinaten q k gleich
den natürlichen Koordinaten x k . Es gilt dann für den kanonisch konjugierten Impuls
⃗p = ∂L
∂⃗v = ∂T
∂⃗v + e c ⃗ A · ∂⃗v
∂⃗v = m⃗v + e c ⃗ A , (5.80)
d.h. ein Teilchen im Magnetfeld ändert seinen Linearimpuls um e/c ⃗ A. Dies ist ein Beispiel
dafür, dass der kanonisch konjugierte Impuls nicht mit dem mechanischen Linearimpuls m⃗v
übereinstimmt.
Die Hamilton-Funktion eines Teilchens im elektromagnetischen Feld erhalten wir aus der
Lagrange-Funktion (5.79) durch
H (⃗x, ⃗p, t) = ⃗p · ⃗v − L (⃗x, ⃗v, t) (5.81)
und Einsetzen von ⃗v aus der Gleichung (5.80) für den kanonisch konjugierten Impuls:
⃗v = 1 (
⃗p − e A
m c ⃗ )
. (5.82)
Wir erhalten
H = ⃗p (
m · ⃗p − e A
c ⃗ )
− 1 (
⃗p − e A
2m c ⃗ ) 2 e + eΦ − A
mc ⃗ ·
(
= eΦ + ⃗p − e A
c ⃗ ) [ ⃗p
·
m − ⃗p
2m + e A
2mc ⃗ −
e ]
A
mc ⃗
(
⃗p − e A
c ⃗ )
= 1 (
⃗p − e A)
2m c ⃗ 2
+ eΦ . (5.83)
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