Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

7 Kovariante Formulierung der Maxwell-Theorie
Für µ = 2 folgt mit j 2 = j x
4π
c j2 = 4π c j x = ∂ ν F ν2
= ∂ 1 F 12 + ∂ 2 F 22 + ∂ 3 F 32 + ∂ 4 F 42
= −∂ ct E x + 0 + ∂ y B z − ∂ z B y
= −∂ ct E x + [rot B] x
,
also
[rot B] x
− 1 c
∂E x
∂t
= 4π c j x .
Für µ = 3 und µ = 4 erhalten wir entsprechend
und
so dass
[rot B] y
− 1 ∂E y
c ∂t
[rot B] z
− 1 ∂E z
c ∂t
rot B ⃗ − 1 ∂E
⃗
c ∂t
= 4π c j y
= 4π c j z,
= 4π c ⃗ j .
Die homogenen Maxwell-Gleichungen folgen aus der Eigenschaft der Jacobi-Identität des
Feldstärketensors
∂ λ F νµ + ∂ ν F µλ + ∂ µ F λν = 0 . (7.41)
7.3.3 Lorentz-Transformation der Feldstärken
Wie oben gezeigt, ist der Feldstärketensor (7.38) ein Lorentztensor zweiter Stufe. Dann gilt
gemäß Gleichung (7.18) das Transformationsverhalten
F ′ αη (x ′ ) = Λ α µΛ η νF µν (x)
Unter Verwendung der Transformationsmatrix (7.17),
⎛
⎞
γ −βγ 0 0
Λ ν µ = ⎜−βγ γ 0 0
⎟
⎝ 0 0 1 0⎠ ,
0 0 0 1
berechnen wir explizit das Transformationsverhalten einzelner Matrixelemente des Feldstärketensors.
So folgt für
−E ′ x = F ′ 12
= Λ 1 µΛ 2 νF µν = γΛ 2 νF 1ν − βγΛ 2 νF 2ν
= −βγ 2 F 11 + γ 2 F 12 + β 2 γ 2 F 21 − βγ 2 F 22
= 0 + γ 2 F 12 + β 2 γ 2 F 21 + 0
= −γ 2 E x + β 2 γ 2 E x = −γ 2 ( 1 − β 2) E x = −E x , (7.42)
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