Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2 Mathematische Vorüberlegungen
Hinsichtlich der Definition von Skalaren und Vektoren, den Vektoroperationen wie Addition,
Subtraktion und Multiplikationen insbesondere Skalarprodukt, Kreuzprodukt und Spatprodukt
verweise ich auf das Kap. 1 des Mechanik-Skripts. Ich setze dessen Inhalt im folgenden
voraus und wiederhole hier die für die Elektrodynamik wichtigen Aspekte.
2.1 Differentiation und Integration von Vektoren
2.1.1 Differentiation von Vektoren
Der Vektor ⃗ A kann eine Funktion des skalaren Parameters u sein, d.h. ⃗ A = ⃗ A(u). In Komponentenschreibweise
gilt dann
⃗A(u) = A x (u)⃗e 1 + A y (u)⃗e 2 + A z (u)⃗e 3 . (2.1)
Da die kartesischen Einheitsvektoren ⃗e i nicht variabel sind, definiert man das Differential
des Vektors als
so dass
d ⃗ A(u)
du
d ⃗ A(u)
du
⃗A(u + ∆u) − A(u)
≡ lim
⃗
∆u→0
[
∆u
Ax (u + ∆u) − A x (u)
= lim
⃗e 1
∆u→0 ∆u
+ A y(u + ∆u) − A y (u)
⃗e 2 + A ]
z(u + ∆u) − A z (u)
⃗e 3
∆u
∆u
= dA x(u)
du
Analog ergeben sich höhere Ableitungen zu
d n ⃗ A(u)
du n
= dn A x (u)
du n
(2.2)
⃗e 1 + dA y(u)
du
⃗e 2 + dA z(u)
du ⃗e 3 . (2.3)
⃗e 1 + dn A y (u)
du n ⃗e 2 + dn A z (u)
du n ⃗e 3 . (2.4)
Es gelten folgende Regeln, die man leicht über die Komponentendarstellung (2.1) beweist:
(a)
(b)
(c)
d
( )
⃗A + B ⃗
du
d
( )
⃗A · B ⃗
du
d
( )
⃗A × B ⃗
du
= d A ⃗
du + d B ⃗
du
(2.5)
= ⃗ A · d ⃗ B
du + d ⃗ A
du · ⃗B (2.6)
= ⃗ A × d ⃗ B
du + d ⃗ A
du × ⃗ B . (2.7)
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