Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2 Mathematische Vorüberlegungen
2.4.4 Kombination verschiedener vektorieller Differentialoperatoren
⃗∇Φ ist ein Vektor. Von diesem Vektor können wir die Divergenz div ∇Φ ⃗ und die Rotation
rot ∇Φ ⃗ berechnen.
⃗∇ · ⃗A ist ein Skalar, dessen Gradient wir bilden können.
⃗∇× A ⃗ ist ein Vektor, dessen Divergenz div ( ∇× ⃗ A) ⃗ und Rotation rot ( ∇× ⃗ A) ⃗ wir berechnen
können.
Mehr Kombinationsmöglichkeiten gibt es nicht! Aber nicht alle ergeben etwas Neues, wie
wir jetzt zeigen werden.
Für die Kombination verschiedener vektorielle Differentialoperatoren beweisen wir die folgenden
wichtigen Rechenregeln:
(a) Wir wiederholen Gleichung (2.58):
div grad Φ = ⃗ ∇ · ( ⃗ ∇Φ) = ∇ 2 Φ = ∆Φ . (2.66)
(b) Ein Gradientenfeld ist wirbelfrei:
⎛
⎞ ⎛
⃗e 1 ⃗e 2 ⃗e 3
rot grad Φ = ∇ ⃗ × ( ∇Φ) ⃗ ∂ ∂Φ ⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎜
= ⃗e i ɛ ijk = ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ = ⎝
∂x j ∂x k
∂Φ
∂x
∂Φ
∂y
∂
∂z
∂ 2 Φ
∂y∂z − ∂2 Φ
∂y∂z
∂ 2 Φ
∂x∂z − ∂2 Φ
∂x∂z
∂ 2 Φ
∂x∂y − ∂2 Φ
∂x∂y
⎞
⎟
⎠ = 0 .
(2.67)
(c) Ein Rotationsfeld besitzt keine Quellen und Senken, denn
⎛
⎞
∂ ∂ ∂
div rot ⃗g = ∇ ⃗ · ( ∇ ⃗ ∂x ∂y ∂z
⎜
× ⃗g) =
∂ ∂ ∂ ⎟
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
g x g y g z
= ∂ [ ∂gz
∂x ∂y − ∂g ]
y
− ∂ [ ∂gz
∂z ∂y ∂x − ∂g ]
x
+ ∂ [ ∂gy
∂x ∂z ∂x − ∂g ]
x
= 0 . (2.68)
∂y
(d) Unter Ausnutzung des dreifache Kreuzprodukts gilt
rot (rot ⃗g) = ∇ ⃗ ( )
× ⃗∇ × ⃗g = grad (div ⃗g) − ∆⃗g (2.69)
( )
(e)
div ⃗B × C ⃗ = C ⃗ (
· rot B ⃗ )
− B ⃗ (
· rot C ⃗ )
. (2.70)
Beweis : Es ist
( )
⃗∇ · ⃗B × C ⃗
= ∂
∂x (B yC z − B z C y ) + ∂ ∂y (B zC x − B x C z ) + ∂ ∂z (B xC y − B y C x )
( ∂Bz
= C x
∂y − ∂B ) (
y ∂Bx
+ C y
∂z
∂z − ∂B ) (
z ∂By
+ C z
∂x ∂x − ∂B )
x
∂y
( ∂Cz
−B x
∂y − ∂C ) (
y ∂Cx
− B y
∂z
∂z − ∂C ) (
z ∂Cy
− B z
∂x ∂x − ∂C )
x
∂y
= C ⃗ ( )
· ⃗∇ × B ⃗ − B ⃗ ( )
· ⃗∇ × C ⃗ .
Q.E.D.
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