Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2.2 Koordinatensysteme
und der Umkehrtrabsformation
x = x(q 1 , q 2 , q 3 ), y = y(q 1 , q 2 , q 3 ), z = z(q 1 , q 2 , q 3 ) . (2.15)
Der Ortsvektor ⃗r des Punktes P kann dann mittels Gleichung (2.15) als Funktion der krummlinigen
Koordianten q i aufgefasst werden:
⃗r(q 1 , q 2 , q 3 ) = (x(q 1 , q 2 , q 3 ), y(q 1 , q 2 , q 3 ), z(q 1 , q 2 , q 3 )) . (2.16)
2.2.1 Koordinatenlinien und Koordinatenflächen
Hält man zwei dieser drei neuen Koordinaten konstant und variiert man nur die dritte neue
Koordiante, so erhält man drei Koordinatenlinien:
L 1 : ⃗r = ⃗r(q 1 , q 2 = c 2 , q 3 = c 3 )
L 2 : ⃗r = ⃗r(q 1 = c 1 , q 2 , q 3 = c 3 )
L 3 : ⃗r = ⃗r(q 1 = c 1 , q 2 = c 2 , q 3 ) .
Ist eine dieser Koordinatenlinien keine Gerade, so spricht man von krummlinigen Koordinaten.
Hält man nur eine neue Koordinate fest und variiert jeweils die beiden anderen, so erhält
man Koordinatenflächen:
F 1 : ⃗r = ⃗r(q 1 = c 1 , q 2 , q 3 )
F 2 : ⃗r = ⃗r(q 1 , q 2 = c 2 , q 3 )
F 3 : ⃗r = ⃗r(q 1 , q 2 , q 3 = c 3 ) .
Die Koordinatenlinien L i entstehen durch Schnitt von je zwei dieser Koordinatenflächen.
2.2.2 Festlegung von Einheitsvektoren
Als normierten Basisvektor oder Einheitsvektor ⃗e q1 im Punkt P wählen wir einen Vektor vom
Betrag 1 tangential zur Koordinatenlinie L 1 (q 2 = c 2 , q 3 = c 3 ) im Punkt P . Seine Richtung
soll dem Durchlaufsinn der Koordinatenlinie bei wachsendem q 1 entsprechen:
⃗e q1 ≡ ∂⃗r/∂q 1
|∂⃗r/∂q 1 |
(2.17)
oder für i = 1, 2, 3
mit dem Skalenfaktor
∂⃗r/∂q i = h i ⃗e qi (2.18)
h i = |∂⃗r/∂q i | . (2.19)
Dies führen wir am Beispiel der Zylinderkoordinaten vor.
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