Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

8 Elektrodynamik in Materie
Zum Beweis: Sei ⃗ b ein beliebiges Vektorfeld. Die zu beweisende Behauptung ist
∫
∮
d 3 r ∇ ⃗ × ⃗ b = ⃗n × ⃗ b dF .
V
Mit einem beliebigen anderen konstanten Vektor C ⃗ bilden wir das Vektorfeld ⃗a = ⃗ b × C ⃗
und wenden das Gauß-Theorem auf div ⃗a an:
∫
∫
d 3 r ∇ ⃗ · ⃗a = d 3 r ∇ ⃗ ( ) ∮ ( )
· ⃗b × C ⃗ = ⃗b × C ⃗ · ⃗ndF . (8.43)
V
V
O(V )
O(V )
Es ist
( )
⃗∇ · ⃗b × C ⃗ = C ⃗ ( )
· ⃗∇ × ⃗ b − ⃗ ( )
b · ⃗∇ × C ⃗ = C ⃗ ( )
· ⃗∇ × ⃗ b
,
weil C ⃗ konstant ist, und das Spatprodukt
( ) ( ) (
⃗b × C ⃗ · ⃗n = ⃗C × ⃗n ·⃗b = ⃗n × ⃗ )
b · ⃗C .
Für Beziehung (8.43) folgt dann
∫
d 3 r ⃗ ( ) ∮ (
C · ⃗∇ × ⃗ b = ⃗C · ⃗n × ⃗ )
b dF ,
V
O(V )
oder wegen der Konstanz von C ⃗
∫
∮
⃗C · d 3 r ∇ ⃗ × ⃗ b = C ⃗ ·
Weil C ⃗ beliebig ist, erhalten wir
∫
∮
d 3 r ∇ ⃗ × ⃗ b =
V
V
O(V )
O(V )
(
⃗n × ⃗ )
b
Q.E.D.
Gemäß Gleichungen (8.40) und (8.41) folgt dann
⃗A (⃗r) = 1 c
= 1 c
∫
∫
V
V
(
⃗n × ⃗ )
b
∮
dF =
O(V )
dF .
d ⃗ F × ⃗ b
⎡
⃗j
(⃗r ′) c∇ ⃗
d 3 r ′
⎣
|⃗r − ⃗r ′ | + r
′ × M ⃗ (⃗r ′) ⎤
⎦
|⃗r − ⃗r ′ |
(
⃗j ⃗r ′) + c∇ ⃗
d 3 r ′ r
′ × M ⃗ (⃗r ′)
. (8.44)
|⃗r − ⃗r ′ |
Der makroskopischen Magnetisierung entspricht offensichtlich ein Strom, der sogenannte
Magnetisierungsstrom
⃗j M (⃗r) = c rot ⃗ M (⃗r) . (8.45)
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