Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

6.2 Inhomogene Wellengleichung
wobei δ ′
die Ableitung der δ-Funktion nach ihrem Argument bezeichnet. Mit
⃗∇ r R
(t ′) [ (
= ∇ ⃗ r ⃗r − ⃗r 0
(t ′)) ] 2
1/2
=
(
⃗r − ⃗r 0 t ′) (
R ⃗ t ′)
|⃗r − ⃗r 0 (t ′ )| = R (t ′ )
folgt für
⎛
∫ ⃗R
(t ′) ⎛ ⎡
∣
∣⃗r − ⃗r 0
(t ′)∣ ∣
⎤⎞
grad Φ (⃗r, t) = Q dt ′
⎝−
R 3 (t ′ ) δ ⎝t ′ − ⎣t −
⎦⎠
c
⃗R
(t ′) ⎛ ⎡
∣
∣⃗r − ⃗r 0
(t ′)∣ ∣
⎤⎞⎞
+ ⎝t ′
cR 2 (t ′ ) δ′ − ⎣t −
⎦⎠⎠ . (6.79)
c
Nun ist
wobei
⎛ ⎡
∣
∣⃗r − ⃗r 0
(t ′)∣ ∣
⎤⎞
δ ′ ⎝t ′ − ⎣t −
⎦⎠ =
c
(
κ ⃗r ′ , t ′)
=
=
=
≡
∂
∂ ( t ′ − t + R c
1
∂(t ′ −t+ R c )
∂t ′
1
∂F(t ′ )
∂t ′
1
∂
∂t ′ δ
∂
∂t ′ δ
(
)δ t ′ − t + R )
c
(
t ′ − t + R )
c
(
t ′ − t + R )
c
(
∂
δ t ′ − t + R )
,
κ (⃗r ′ , t ′ ) ∂t ′ c
∂F
(t ′)
(
= 1 − ⃗n · ⃗v
∂t ′ 0 t ′) .
Es folgt für Beziehung (6.79)
∫
grad Φ (⃗r, t) = −Q
∫
+Q
(
R ⃗ t ′) ⎛ ⎡
∣
∣⃗r − ⃗r 0
(t ′)∣ ∣
⎤⎞
dt ′ R 3 (t ′ ) δ ⎝t ′ − ⎣t −
⎦⎠
c
(
R ⃗ t ′) ⎛ ⎡
∣
dt ′ ∂
∣⃗r − ⃗r 0
(t ′)∣ ∣
⎤⎞
cR 2 δ ⎝t ′ − ⎣t −
⎦⎠ .
(t ′ ) κ (⃗r ′ , t ′ ) ∂t ′ c
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