Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2 Mathematische Vorüberlegungen
Übungsaufgabe:
A 2.2.1) Berechnen Sie die Einheitsvektoren sowie den Geschwindigkeitsvektor und Beschleunigungsvektor
in Kugelkoordinaten x = r cos φ sin θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos θ. Drücken
Sie ⃗e r , ⃗e θ und ⃗e φ als Funktion der kartesischen Einheitsvektoren ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 aus.
Verifizieren Sie dabei folgende Ergebnisse:
⃗e r = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) (2.31)
⃗e θ = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, − sin θ) (2.32)
⃗e φ = (− sin φ, cos φ, 0) (2.33)
⃗v(t) = ṙ⃗e r + r ˙θ⃗e θ + r sin θ ˙φ⃗e φ (2.34)
⎡ ( )
⎤
⃗a(t) = (¨r − r ˙θ 2 − r sin 2 θ ˙φ 2 )⃗e r + ⎣ 1 d r 2 ˙θ
− r sin θ cos θ
r dt
˙θ 2 ⎦ ⃗e θ
[
+
1
r sin θ
2.3 Vektorielle Differentialoperatoren
2.3.1 Gradient
d
(
˙φ) ]
r 2 sin 2 θ ⃗e φ . (2.35)
dt
Wir definieren zunächst skalare Felder und vektorielle Felder.
Definition: Skalare Felder: Unter einem skalaren Feld versteht man eine skalaren Funktion
ψ(x, y, z), die jedem Punkt P (x 0 , y 0 , z 0 ) den skalaren Wert ψ(x 0 , y 0 , z 0 ) zuordnet, wie z. B.
Temperaturfelder, Massendichte und Ladungsdichte.
Definition: Vektorielle Felder: Unter einem vektoriellen Feld versteht man eine Vektorfunktion
⃗ A(x, y, z), die jedem Punkt P (x 0 , y 0 , z 0 ) den Vektor ⃗ A(x 0 , y 0 , z 0 ) zuordnet, wie z.B.
Geschwindigkeitsfelder in Flüssigkeiten und Feldstärkevektoren ⃗ E, ⃗ H in der Elektrodynamik.
Gegeben sein nun ein Punkt P (x 0 , y 0 , z 0 ) und ein Skalarfeld ψ(x, y, z).
Definition: Gradient: grad ψ(x 0 , y 0 , z 0 ) = ⃗ ∇ψ(x 0 , y 0 , z 0 ) ist der Vektor, der in Richtung
des stärksten Anstiegs der Funktion ψ zeigt und dessen Betrag die änderung von ψ pro Wegstrecke
in Richtung des stärksten Anstiegs im Punkt P (x 0 , y 0 , z 0 ) ist. (Beispiel: Höhenlinien
auf Wanderkarten) Jedem Punkt eines Skalarfeldes ordnet man so einen Gradientenvektor zu.
Die Gesamtheit aller Gradientenvektoren bildet ein dem Skalarfeld zugeordnetes Vektorfeld,
dass sich mathematisch durch
⃗A(x, y, z) = gradψ(x, y, z) = ∇ψ(x, ⃗ ∂ψ
y, z) = ⃗e 1
∂x + ⃗e ∂ψ
2
∂y + ⃗e ∂ψ
3
∂z
darstellen lässt. Wir können also den Nabla-Operator ⃗ ∇ schreiben als
(2.36)
∂
⃗∇ = ⃗e 1
∂x + ⃗e ∂
2
∂y + ⃗e ∂
3
∂z . (2.37)
Beweis : Zum Beweis der Beziehungen (2.36) und (2.37) berechnen wir das totale Differential
der Funktion ψ, dass sich durch Taylor-Entwicklung der Funktion ψ(x+dx, y+dy, z+dz)
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