Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

6.2 Inhomogene Wellengleichung
Es folgt für das Integral (6.56)
∫
dk 0 F (k, k 0 )
C 1
= − 1
= − πı
k
= − πı
2k 2πı [Res k 0 =−kf(k 0 ) + Res k0 =kf(k 0 )]
[
]
e ıkx 0
− e −ıkx 0
k 2ısin(kx 0) = 2π
∣ ⃗ k∣
(∣ ∣ ) ∣∣
sin ⃗ ∣∣ k x0
. (6.59)
Das Ergebnis (6.59) ist unabhängig vom Radius ρ, so dass der Grenzübergang ρ → 0 vollzogen
werden kann, und wir erhalten mit Beziehung (6.53)
⎧
⎨
∫
D 1 (X µ c
2π d 3 k e ı⃗ k·⃗r sin(|⃗ k|x 0)
) =
2 | ⃗ für x
k|
0 > 0
. (6.60)
⎩
0 für x 0 < 0
Die Integration über d 3 k wird durch Einführung von Kugelkoordinaten im k-Raum (k, θ, φ)
durchgeführt, wobei θ = ∠( ⃗ k, ⃗r) ist. Mit d 3 k = k 2 dk sin θdθdφ = k 2 dkdµdφ, wobei µ =
cos θ, folgt für x 0 > 0
D 1 (X µ ) =
= c π
= c π
∫
c 2π
2π 2
= c
ıπr
0
∫ ∞
0
∫ ∞
= c
ıπr
= − c
−
0∫ ∞
0
∫ 1
dφ dµ
−1
dk k sin(kx 0 )
∫ ∞
0
∫ 1
−1
dk k 2 e ıkrµ sin(kx 0)
k
dµ e ıkrµ
dk k sin(kx 0 ) eıkr − e −ıkr
ıkr
dk sin(kx 0 )
(e ıkr − e −ıkr)
0∫ ∞
Substituieren wir im zweiten Integral k = −k ′
(
e ıkr − e −ıkr) ( )
e ıkx 0
− e −ıkx 0
1
dk
2ı 0
(∫ ∞
dk
[e ]
ık(x0+r) − e ık(x 0−r)
2πr 0
∫ ∞ [
])
dk e −ık(x0−r) − e −ık(x 0+r)
.
so folgt
D 1 (X µ ) = − c (∫ ∞
dk
[e ]
ık(x0+r) − e ık(x 0−r)
2πr 0
∫ −∞ [ ])
+ dk ′ e ık′ (x 0 −r) − e ık′ (x 0 +r)
0
= − c
2πr
∫ ∞
−∞
dk
[
e ık(x 0+r) − e ık(x 0−r) ] . (6.61)
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