Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

6.2 Inhomogene Wellengleichung
die sich von ∞ kommend auf den Punkt (⃗r ′ , t ′ ) zusammenzieht. D 2 heißt avancierte Green-
Funktion.
Mit völlig analogen Überlegungen behandelt man Weg 3 und Weg 4. Man erhält Green-
Funktionen, die in der klassischen Physik nicht benutzt werden können, die jedoch in der
Quantenfeldtheorie als kausale und antikausale Feynman-Propagatoren Verwendung finden.
Nachdem wir die Green-Funktionen kennen, sind wir in der Lage, die inhomogenen Wellengleichungen
(6.39) und (6.40) zu lösen. Wegen der Kausalitätsbedingung ist D 1 die richtige
Green-Funktion. Die Lösungen lauten
Φ (⃗r, t) =
=
∫
∫
d 3 ⃗r ′ ∫
d 3 ⃗r ′ 1 ∫
|⃗r − ⃗r ′ |
(
dt ′ D 1
(⃗r, ⃗r ′ , t, t ′) ρ
(⃗r ′ , t ′)
(
dt ′ ρ ⃗r ′ , t ′) δ
˛
˛⃗r−⃗r ′˛˛˛
∫ ρ ⃗r ′ , t −
c
also Φ (⃗r, t) = d 3 ⃗r ′
|⃗r − ⃗r ′ |
∫ ∫
und A ⃗
1
(⃗r, t) = d 3 ⃗r ′ dt ′ D 1
(⃗r, ⃗r ′ , t, t ′) ⃗j
(⃗r ′ , t ′)
c
(
)
= 1 c
∫
d 3 ⃗r ′ ⃗j
⃗r ′ , t −
|⃗r − ⃗r ′ |
)
˛
˛⃗r−⃗r ′˛˛˛
c
⎛
∣
∣⃗r − ⃗r ′∣ ∣
⎞
⎝t − t ′ − ⎠ ,
c
(6.65)
. (6.66)
Wir prüfen nach, ob die Darstellungen (6.65) und (6.66) die Lorenz-Eichung (6.41) erfüllen:
Es ist
div A ⃗ = ∇ ⃗ r · ⃗A = 1 ∫ ∫ (
d 3 ⃗r ′ dt ′ ⃗∇r · D 1
(⃗r, ⃗r ′ , t, t ′)) ⃗j
(⃗r ′ , t ′)
c
= − 1 ∫ ∫ (
d 3 ⃗r ′ dt ′ ⃗∇r ′ · D 1
(⃗r, ⃗r ′ , t, t ′)) (
⃗j ⃗r ′ , t ′) .
c
Integrieren wir diese Gleichung partiell, so ergibt sich mit D 1 = 0 für |⃗r − ⃗r ′ | → ∞, dass
div A ⃗ = 1 ∫ ∫
d 3 ⃗r ′ dt ′ D 1
(⃗r, ⃗r ′ , t, t ′) ( (
∇r ⃗ ′ · ⃗j ⃗r ′ , t ′)) (6.67)
c
1
Ebenso ist
c ∂ tΦ = 1 ∫ ∫ (
d 3 ⃗r ′ dt ′ ∂ t D 1
(⃗r, ⃗r ′ , t, t ′)) ρ
(⃗r ′ , t ′)
c
= − 1 ∫ ∫ (
d 3 ⃗r ′ dt ′ ∂
c
t
′ D 1
(⃗r, ⃗r ′ , t, t ′)) (
ρ ⃗r ′ , t ′) .
(6.68)
Integrieren wir diese Gleichung partiell, so ergibt sich mit D 1 = 0 für |⃗r − ⃗r ′ | → ∞, dass
1
c ∂ tΦ = 1 ∫ ∫
d 3 ⃗r ′ dt ′ D 1
(⃗r, ⃗r ′ , t, t ′) ( (
∂
c
t
′ ρ ⃗r ′ , t ′)) . (6.69)
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