Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3.3 Differentielle Feldgleichungen
E
E
+ q − q
Abbildung 3.1: Die elektrischen Felder einer positiven und einer negativen Punktladung
Die Gesamtkraft auf eine Ladungsdichte ρ(⃗r) ist dann
und die Gesamtladung Q ist
Die Einheit der elektrischen Feldstärke
[ ]
[ ] ⃗K
⃗E (⃗r) ist ⃗E =
[q]
∫
⃗K = d 3 r ρ (⃗r) E ⃗ (⃗r)
R 3 (3.11)
∫
Q = d 3 r ρ (⃗r)
R 3 (3.12)
= dyn
Le = dyn1/2 cm −1 = 1 Gauß
im CGS-System.
Mit der δ-Funktion (wir schreiben kurz δ(⃗x) = δ 3 (⃗x)) erhalten wir aus der Beziehung (3.10)
wieder Gleichung (3.9), denn Einsetzen von
(
ρ ⃗r ′) =
N∑
n=1
)
q n δ
(⃗r ′ − ⃗r n
liefert sofort
N∑
∫
⃗E (⃗r) =
n=1
) ′
d 3 r ′ q n δ
(⃗r ′ ⃗r − ⃗r N
− ⃗r n
|⃗r − ⃗r ′ | 3 = ∑ q n (⃗r − ⃗r n )
|⃗r − ⃗r
n=1 n | 3 = ∑ n
⃗E n (⃗r) .
3.3 Differentielle Feldgleichungen
Mit Beziehung (2.135),
grad r
1
|⃗r − ⃗r ′ | = ⃗ ∇ r
( 1
r − r ′ )
= −
⃗r − ⃗r′
|⃗r − ⃗r ′ | 3 , 45