Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

7.4 Lagrange- und Hamilton-Formalismus für Felder
Weil die beliebigen Variationen unabhängig vom Ableitungsprozess sind, gilt
δ ∂u r
∂x = ∂ (δu r)
∂x , δ ∂u r
∂y = ∂ (δu r)
, δ ∂u r
∂y ∂z = ∂ (δu r)
, δ ∂u r
∂z ∂t = ∂ (δu r)
,
∂t
so dass z.B. nach partieller Integration
∫∫∫∫
∂L
δ ∂u r
∂ ∂ur ∂x dxdydzdt
∂x
∫∫∫∫
∂L ∂(δu r )
=
∂ ∂ur ∂x
dxdydzdt
∂x
∫ ∫ ∫ ∫
= dy dz dt dx ∂L
=
∫
∫
−
∫
dy
∫
dy
∫∫∫∫
= −
∫
dz
dt
∫
dz
([
[
∂
δu r
∂x
∂ ∂ur
∂x
∂L
∂ ∂ur
∂x
∂(δu r )
∂x
δu r
]
Rand von x
∫ [ ])
∂ ∂L
dt dxδu r
∂x ∂ ∂ur
∂x
]
∂L
dxdydzdt , (7.58)
∂ ∂ur
∂x
weil der Randterm verschwindet aufgrund der Annahme δu r | Rand von x = 0. Verfährt man
ebenso mit den anderen Termen von Gleichung (7.57), erhält man für Gleichung (7.56)
∫∫∫∫ (
)
∑ ∂L
δu r − ∂ ∂L
− ∂ ∂L
− ∂ ∂L
− ∂ ∂L
= 0
∂u
r
r ∂x ∂ ∂ur ∂y
∂x
∂ ∂ur ∂z
∂y
∂ ∂ur ∂t
∂z
∂ ∂ur
∂t
Weil die Variationen δu r beliebig sind, gilt für jede Feldfunktion u r
∂L
− ∂
∂u r ∂x
∂L
∂ ∂ur
∂x
− ∂ ∂y
∂L
∂ ∂ur
∂y
− ∂ ∂z
∂L
∂ ∂ur
∂z
− ∂ ∂t
∂L
∂ ∂ur
∂t
= 0 (7.59)
zu jedem Zeitpunkt und an jedem Punkt des betrachteten Raum-Zeit-Gebiets. Die Gleichungen
(7.59) werden als Euler-Lagrange-Gleichungen bezeichnet. Mit der kovarianten Ableitung
(7.21) und der Einsteinschen Summenkonvention schreiben sich die Euler-Lagrange-
Gleichungen (7.59) kurz als
∂ µ
(
) ∂L
∂ (∂ µ u r )
= ∂L
∂u r
, r = 1, 2, 3, . . . . (7.60)
7.4.2 Klein-Gordon-Lagrange-Dichte für ein skalares (Spin 0) Feld
Als erste Anwendung diskutieren wir den Fall einer einzelnen skalaren Feldfunktion u 1 = Φ
mit der invarianten Lagrange-Dichte
L = 1 2 (∂ µΦ) (∂ µ Φ) − 1 ( mc
) 2
Φ 2 , (7.61)
2
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