Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

5 Maxwell-Gleichungen
ändert das magnetische Feld ⃗ B nicht, weil wegen (rot grad = 0)
rot ⃗ A ′ = rot ⃗ A + rot grad Λ = rot ⃗ A .
Damit auch das elektrische Feld ⃗ E gemäß Gleichung (5.22) unverändert bleibt, muss gleichzeitig
auch das skalare Potential mittransformiert werden
denn dann ist
⃗E = − ⃗ ∇Φ ′ − 1 c
∂ ⃗ A ′
∂t
Φ (⃗r, t) → Φ ′ (⃗r, t) = Φ (⃗r, t) − 1 c
= − ⃗ ∇Φ + 1 c ⃗ ∇
∂Λ (⃗r, t)
∂t
, (5.27)
( ) ∂Λ
− 1 ∂A
⃗
∂t c ∂t − 1 ∂
( )
⃗∇Λ = −∇Φ c ∂t
⃗ − 1 ∂A
⃗
c ∂t .
Die Gleichungen (5.26) und (5.27) bilden eine Eichtransformation: die ⃗ E- und ⃗ B-Felder
ändern sich nicht unter dieser Transformation mit einem beliebigen skalaren Feld Λ (⃗r, t).
5.5.1 Lorenz-Eichung
′
Wir behaupten: A ⃗ und Φ ′
können so gewählt werden, dass sich die Potentialgleichungen
(5.23) und (5.25) reduzieren auf
⊓Φ ′ (⃗r, t) = 4πρ (⃗r, t) (5.28)
und ⊓ ⃗ A ′ (⃗r, t) = 4π c ⃗ j (⃗r, t) , (5.29)
mit der Lorenz-Bedingung
⃗∇ · ⃗A ′ (⃗r, t) + 1 c
Beweis: Nach Gleichungen (5.26) und (5.27) ist
⃗A = ⃗ A ′ − ⃗ ∇Λ,
∂Φ ′ (⃗r, t)
∂t
Φ = Φ ′ + 1 c
= 0 . (5.30)
∂Λ
∂t
(5.31)
Setzen wir dies in die gekoppelten Potentialgleichungen (5.23) und (5.25) ein, erhalten wir
und
∆Φ ′ + 1 c
∂ (∆Λ)
∂t
+ 1 c
∂
∇
∂t ⃗ · ⃗A ′ − 1 ∂
∇
c ∂t ⃗ ( )
· ⃗∇Λ
∂
⊓A ⃗ ( )
′
− ⊓ ⃗∇Λ + ∇ ⃗
=
∆Φ ′ + 1 ∇
c ∂t ⃗ · ⃗A ′ = −4πρ (5.32)
[
⃗∇ · ⃗A + 1 ]
∂Φ
= 4π c ∂t c ⃗ j . (5.33)
Wir nehmen ferner an, dass A ⃗ und Φ als Lösungen von (5.23) und (5.25) bekannt sind.
Dann kann die skalare Funktion Λ so gewählt werden, dass es die Lösung der inhomogenen
Gleichung
⊓Λ =
[
⃗∇ · ⃗A + 1 c
]
∂Φ
∂t
(5.34)
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