Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3.10 Spiegelungsmethode oder Methode der Bildladungen
Die Randbedingung (3.106) auf der y − z − Ebene bei x = 0 realisieren wir durch eine
Bildladung q B außerhalb von V , d.h. im Bereich x > 0. Aus Symmetriegründen liegt es
nahe, diese Bildladung auf die positive x-Achse zu setzen. Für das Potential setzen wir dann
an
Φ (⃗r) =
q
|⃗r + a⃗e x | +
q b
|⃗r − b⃗e x | . (3.107)
Die Werte von q b und b werden so bestimmt, dass die Randbedingung (3.106) erfüllt ist, d.h.
Φ(⃗r) = 0 ∀⃗r = (0, y, z), also
0 =
q
√
y 2 + z 2 + (−a) + q
√ b
2 y 2 + z 2 + b . (3.108)
2
Als Lösung erhalten wir q b = −q und b = a und damit für Gleichung (3.107):
Φ (⃗r) =
q
|⃗r + a⃗e x | − q
|⃗r − a⃗e x | . (3.109)
q
a
b
q b
x
V
Abbildung 3.13: Punktladung und Bildladung bei der geerdeten Metallplatte
Wegen (siehe Gleichung (3.62))
∆ r
1
|⃗r − a⃗e x | = −4πδ (⃗r − a⃗e x) = 0
∀⃗r ∈ V
ist Gleichung (3.109) die Lösung der Poisson-Gleichung mit der Randbedingung Φ = 0 auf R.
Für das elektrische Feld im Halbraum in V (x < 0) erhalten wir damit
[
⃗E (⃗r) = −∇Φ ⃗ ⃗r + a⃗ex
= q
|⃗r + a⃗e x | 3 − ⃗r − a⃗e ]
x
|⃗r − a⃗e x | 3 . (3.110)
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