Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

6 Elektromagnetische Wellen und Strahlung
Wie in der Elektrostatik wird die lineare partielle Differentialgleichung (6.42) mit Hilfe der
Methode der Green-Funktion gelöst, d.h.
∫ (
ψ (⃗r, t) = D ⃗r, ⃗r ′ , t, t ′) (
f ⃗r ′ , t ′) dr ′ dt ′ , (6.43)
wobei die jetzt vierdimensionale Green-Funktion als Lösung der Differentialgleichung
1 ∂ 2 D
(⃗r, ⃗r ′ , t, t ′) (
c 2 ∂t 2 − ∆D ⃗r, ⃗r ′ , t, t ′) ( = 4πδ 3 ⃗r − ⃗r ′) (
δ t − t ′) (6.44)
definiert ist und vorgegebene Randbedingungen erfüllt.
Es ist sinnvoll, die Definitionen und Eigenschaften dieser D-Funktionen (singuläre Funktionen
der Elektrodynamik) vorab zu behandeln. Wir wählen dazu einen heuristischen, nicht
strengen Zugang, d.h. die Existenz der involvierten Integrale und die Frage nach der Vertauschbarkeit
von Differentiation und Integration wird nicht weiter untersucht (dies geschieht
streng in der mathematischen Theorie der Distributionen).
Dazu definieren wir die vierdimensionale Delta-Funktion
δ 4 (X µ ) = δ 3 (⃗r) δ (x 0 ) , (6.45)
wobei x 0 = ct die vierte Koordinate im Minkowski-Welt-Raum ist (vergl. Mechanik-Skript
Kap. 7.2). Setzen wir o.B.d.A. ⃗r ′ = 0, t ′ = 0, so lautet Gleichung (6.44)
mit dem kontravarianten Ortsvektor
Mit dem kovarianten Ortsvektor
ist der Quabla-Operator
⊓D (X µ ) = 4πcδ 4 (X µ ) , (6.46)
X µ = (x 0 , x, y, z) = (ct, x, y, z) .
X µ = (x 0 , −x, −y, −z) = (ct, −x, −y, −z)
⊓ =
∂
∂X µ
∂
∂X µ = ∂2 0 − ∂ 2 1 − ∂ 2 2 − ∂ 2 3 (6.47)
ein Lorentz-Skalar . Wir definieren weiterhin den vierdimensionalen kontravarianten Wellenvektor
durch
(
k µ = k 0 , ⃗ )
k , (6.48)
wobei k 0 = ω/c. Dann gilt
X µ X µ = x 2 0 − r 2 = c 2 t 2 − r 2 ,
k µ k µ = k0 2 − k 2 = ω2
c 2 − k2 ,
X µ k µ = k 0 x 0 − ⃗ k · ⃗r .
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