Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3.8 Randwertprobleme
3.8 Randwertprobleme
3.8.1 Formulierung des Randwertproblems
Nach der Diskussion der physikalischen Randbedingungen im letzten Abschnitt formulieren
wir das zu lösende Problem mathematisch: ein zusammenhängendes Volumen V werde durch
eine oder mehrere Metalloberflächen (Leiteroberflächen) begrenzt. Der Rand von V besteht
aus mehreren Rändern von getrennten Metallkörpern, also R = (R 1 , R 2 , . . .). Im Volumen
V ist das Potentialfeld φ (⃗r) gesucht. Es gelten die Randbedingungen
Φ| Ri = Φ i = const. (3.44)
∂Φ
und
∂n ∣ = −4πσ (3.45)
R
∂
mit
∂n = ⃗n · ⃗∇ .
Die Vorgabe der Potentialwerte am Rand (wie in Gleichung (3.44)) wird Dirichlet-Randbedingung
genannt:
Dirichlet-Randbedingung Φ| R = Φ 0 (⃗r) . (3.46)
Gleichung (3.46) ist etwas allgemeiner als Gleichung (3.44), weil φ 0 eine Funktion von ⃗r sein
kann und nicht, (wie bei einem Leiter) auf jedem R i konstant sein soll.
Die Vorgabe der Normalkomponente auf dem Rand (wie in Gleichung (3.45)) wird von
Neumann-Randbedingung genannt:
∂Φ
von Neumann-Randbedingung
∂n ∣ = −4πσ (⃗r) . (3.47)
R
Im allgemeinen sind die Oberflächenladungen nicht bekannt, sondern die Potentialwerte
Φ 0 (⃗r) auf den einzelnen Metallkörpern. Wir erhalten dann das Randwertproblem mit Dirichlet-
Randbedingung zu:
∆Φ (⃗r) = −4πρ (⃗r) in V (3.48)
Φ (⃗r) = Φ 0 (⃗r) auf R , (3.49)
wobei ρ (⃗r) und Φ 0 (⃗r) gegeben sind und Φ (⃗r) gesucht wird.
Aus der Lösung Φ (⃗r) kann dann gemäß Gleichung (3.47) die Oberflächenladung bestimmt
werden;
σ = − 1
∂Φ
4π ∂n ∣ .
R
3.8.2 Partikuläre und homogene Lösung
Jede lineare inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit Quellterm kann als Summe
einer speziellen (partikulären) Lösung und der homogenen Lösung geschrieben werden:
Φ (⃗r) = Φ part (⃗r) + Φ hom (⃗r) (3.50)
mit der homogenen Lösung ∆Φ hom (⃗r) = 0 (3.51)
und der partikulären Lösung ∆Φ part (⃗r) = −4πρ (⃗r) . (3.52)
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