Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3 Elektrostatik
Daraus folgt
( )
x 2 + y 2 2A0
= exp ,
c
so dass sich für A 0 = const. tatsächlich konzentrische Kreise als Äquipotentiallinien ergeben.
Aus den Gleichungen (3.133) folgt weiterhin
y
x = − tan A c ,
so dass sich für A = const. tatsächlich Geraden durch den Ursprung als Feldlinien ergeben.
3.12 Lösung der Laplace-Gleichung durch Separationsansatz
Entsprechen die Randbedingungen den Koordinatenflächen in einem orthogonalen Koordinatensystem,
so bietet sich die Lösung durch Separationsansatz in diesen Koordinaten an.
3.12.1 Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten
Mit Gleichung (2.97) für den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten erhalten wir für die
Laplace-Gleichung
∆A 0 (r, θ, φ) = 1 (
∂
r 2 r 2 ∂A )
0
+ 1 ∂r ∂r r ˆDA 2 0 = 0 , (3.134)
mit dem Winkelanteil
ˆD = 1
sin θ
(
∂
sin θ ∂ )
+ 1
∂θ ∂θ sin 2 θ
∂ 2
∂φ 2 . (3.135)
Durch den Separationsansatz
erhalten wir für die Laplace-Gleichung (3.134)
oder
−
Y (θ, φ)
r 2
∂
∂r
A 0 (r, θ, φ) = R(r)Y (θ, φ) (3.136)
(
r 2 ∂R(r) )
∂r
1
Y (θ, φ) ˆDY (θ, φ) = 1
+ R(r) ˆDY (θ, φ) = 0 ,
r 2 (
∂
r 2 ∂R(r) )
= l(l + 1) (3.137)
R(r) ∂r ∂r
gleich der Separationskonstanten l(l + 1). Diese spezielle Schreibweise der Separationskonstanten
wird sich gleich als sehr sinnvoll erweisen.
Für den Radialteil R(r) gilt nach (3.137) die Differentialgleichung
(
d
r 2 dR )
= l(l + 1)R ,
dr dr
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