Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2 Mathematische Vorüberlegungen
z
y
x
Abbildung 2.11: Die Funktion ⃗v = ⃗e r /r 2
ergibt. Was ist hier falsch? Das Problem ist der Punkt r = 0, wo die Funktion ⃗v divergiert,
und wo wir in (2.110) durch Null geteilt haben.
Der Wert des Oberflächenintegrals (2.111) ist unabhängig vom Wert des Kugelradius R;
nach dem Gauß-Theorem sollten wir für jeden Wert von R
∫
dV ∇ ⃗ · ⃗v = 4π
V
erhalten. Offensichtlich kommt der ganze Beitrag durch den Punkt r = 0 zustande! ⃗ ∇ ·⃗v hat
die bizarre Eigenschaft, dass es überall außer bei einem Punkt verschwindet, und dass sein
Integral über jedes Volumen, das diesen Punkt enthält, gleich 4π ist. Keine normale Funktion
verhält sich so! Andererseits gibt es eine physikalische Größe, die sich ebenso verhält: die
Dichte (Masse pro Einheitsvolumen) eines Punktteilchens. Sie ist Null außer am exakten Ort
des Teilchens, und ihr Integral ist endlich und gerade gleich der Masse des Teilchens.
Um dieses Phänomen zu erfassen, benötigen wir den mathematischen Begriff der Diracschen
Delta-Funktion. Diese können wir als die Verallgemeinerung des Kronecker-Symbols δ ij = 1
für i = j und δ ij = 0 für i ≠ j für kontinuierliche Systeme verstehen.
2.7.2 Die eindimensionale Delta-Funktion δ(x − x 0 )
Die δ-Funktion ist eine kurze Schreibweise für einen komplizierten Grenzwert-Prozess. Die
δ-Funktion hat nur eine Bedeutung, wenn sie in einem Integral auftaucht mit folgendem
Effekt:
∫ ∞
−∞
dx f(x)δ(x) = f(0) , (2.112)
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