Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3 Elektrostatik
3.9 Entwicklung des skalaren Potentials einer statischen,
begrenzten Ladungsverteilung nach Multipolen
Wir untersuchen die in Abbildung 3.9 gezeigte auf das Gebiet G begrenzte Ladungsverteilung
ρ(⃗r ′ ). Den Vektor
∫
G d3 r ′ ⃗r ′ ρ
(⃗r ′)
⃗r S = ∫
(3.65)
G d3 r ′ ρ (⃗r ′ )
bezeichnet man als Ladungsschwerpunktsvektor. Das Koordinatensystem sei so gewählt,
dass ⃗r S = ⃗0 erfüllt ist.
O
θ G
r’
d 3 x
r −r’
r
Abbildung 3.9: Begrenzte Ladungsverteilung mit Ladungsschwerpunkt ⃗r S = 0
3.9.1 Multipole
Gemäß Gleichung (3.53) berechnen wir das im Punkt ⃗r durch diese Ladungsverteilung hervorgerufene
Potential A 0 (⃗r) ≡ Φ part (⃗r) zu
∫
A 0 (⃗r) =
d 3 r ′ ρ (
⃗r ′)
|⃗r − ⃗r ′ |
durch Entwicklung nach Multipolen für r > r ′ .
Mit
⃗r · ⃗r′
cos θ =
|⃗r| |⃗r ′ |
folgt aus Abbildung 3.9 mit dem Kosinussatz
also
∣
∣⃗r − ⃗r ′∣ √
∣ =
√(⃗r − ⃗r ′ ) 2 = r 2 − 2rr ′ cos θ + (r ′ ) 2 ,
√
∣
∣⃗r − ⃗r ′∣ (
∣ = r 1 − 2 r′ r
′
) 2
r cos θ + . (3.66)
r
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