Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

8 Elektrodynamik in Materie
Es gilt
d.h. hier ⃗ P
(x ′) · ⃗∇ x
′
div
[
aP
⃗ ]
1
|⃗x − ⃗x ′ |
= a div P ⃗ + P ⃗ · ⃗∇a ,
⎡
⃗P
(x ′) ⎤ ⎡
⃗∇
= ∇ ⃗ x
′ · ⃗P
(x ′) ⎤
x
′ · ⎣ ⎦ − ⎣
⎦ .
|⃗x − ⃗x ′ | |⃗x − ⃗x ′ |
Es folgt
∫
A =
V
⎡
⃗P
(x ′) ⎤
d 3 x ′ ∇x ⃗ ′ · ⎣ ⎦ −
|⃗x − ⃗x ′ |
∫
V
∇x ⃗
d 3 x ′ ′ · ⃗P
(x ′)
|⃗x − ⃗x ′ |
.
Mit Hilfe des Gauß-Theorems wandeln wir das erste Volumenintegral in ein Oberflächenintegral
um und erhalten
∮
A (⃗x) = d⃗a · ⃗P
O(V ) r
∫V
− d 3 x ′ 1 (
⃗∇x ′ ·
r
⃗P
)
. (8.2)
Führen wir das Potential der Volumenladung
und das Potential der Oberflächenladung als
ρ b ≡ − ⃗ ∇ · ⃗P (8.3)
σ b ≡ ⃗ P · ⃗n (8.4)
ein, wobei ⃗n den Oberflächennormalenvektor kennzeichnet, so folgt für das Potential (8.2)
∮
A = da σ b
O(V ) r
∫V
+ d 3 x ′ ρ b
r . (8.5)
Das Potential eines polarisierten Materials ist dasselbe wie das durch eine Volumenladungsdichte
ρ b = −div ⃗ P plus dem durch die Oberflächenladungsdichte σ b = ⃗ P · ⃗n erzeugte
Potential.
Anstatt also über die Beiträge der infinitesimalen Dipole zu integrieren, brauchen wir nur ρ b
und σ b zu berechnen, und können damit die Felder so wie bisher aus Oberflächenladungen
und Volumenladungsdichten berechnen.
Das Zustandekommen von Volumenladungen und Oberflächenladungen durch die Polarisation
lässt sich einfach physikalisch verstehen:
– Bei homogener Polarisation ist div ⃗ P = 0, und wir können uns das dielektrische
Material als parallele Aufeinanderreihung von langen Ketten von einzelnen Dipolen
vorstellen (siehe Abb. 8.4). Die Wirkung der positiven und negativen Ladungen heben
sich im Innern gerade auf und es bleiben nur die Ladungen am Rand übrig, so dass
insgesamt nur die Oberflächenladung σ b nicht verschwindet.
– Bei inhomogener Polarisation ist örtlich div ⃗ P ≠ 0, so dass in jedem Volumenelement
eine Nettoladung übrig bleibt, die sich als Volumenladungsdichte ρ b = −div ⃗ P
beschreiben lässt. Diese tritt dann zusätzlich zu der Oberflächenladung auf.
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