Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

5.6 Energiesatz der Elektrodynamik
Nach dem Helmholtzschen Zerlegungssatz (2.144) lässt sich die Stromdichte ⃗j als Summe
zweier Terme darstellen: dem Gradient eines Skalars (longitudinaler Anteil) plus der Rotation
eines Vektors (transversaler Anteil)
⃗j (⃗r, t) = ⃗j l (⃗r, t) + ⃗j t (⃗r, t) (5.45)
( )
mit ⃗j l (⃗r, t) = − 1 ∫
∇
4π ⃗ div ⃗j ⃗r ′ , t
r d 3 r ′ |⃗r − ⃗r ′ |
( )
und ⃗j t (⃗r, t) = 1 ∫
∇
4π ⃗ rot ⃗j ⃗r ′ , t
r × d 3 r ′ .
|⃗r − ⃗r ′ |
(5.46)
In Gleichung (5.44) taucht ⃗j l als zweiter Term auf der rechten Seite auf, d.h.
⊓A ⃗ (⃗r, t) = 4π c ⃗ j (⃗r, t) − 4π c ⃗ j l (⃗r, t)
= 4π (
⃗ j l (⃗r, t) + ⃗j t (⃗r, t))
− 4π c
c ⃗ j l (⃗r, t)
= 4π c ⃗ j t (⃗r, t)
also ⊓ ⃗ A (⃗r, t) = 4π c ⃗ j t (⃗r, t) . (5.47)
Unter Coulomb-Eichung ist das Vektorpotential vollständig durch die transversale Stromdichte
⃗j t bestimmt. Deshalb wird die Coulomb-Eichung auch als transversale Eichung bezeichnet.
Die Coulomb-Eichung spielt eine wichtige Rolle in der Quantenelektrodynamik und im quellfreien
Fall (ρ = 0,⃗j = 0). Dann ist Φ = 0 eine Lösung und nach Gleichung (5.43) erfüllt
das Vektorpotential die homogene Wellengleichung
⊓ ⃗ A (⃗r, t) = 0 . (5.48)
Die elektromagnetischen Felder sind dann einfach durch ⃗ B = rot ⃗ A und ⃗ E = − 1 c
5.6 Energiesatz der Elektrodynamik
∂ ⃗ A
∂t gegeben.
Als erste wichtige Konsequenz der Maxwell-Gleichungen behandeln wir den Energiesatz der
Elektrodynamik. Dazu betrachten wir zunächst ein Teilchen mit der Ladung q, das im elektromagnetischen
Feld der Lorenz-Kraft (5.19) unterliegt:
⃗F = q
[
⃗E + ⃗v × ⃗ B
c
Bei der Verschiebung des geladenen Teilchens um die Strecke d⃗r = ⃗vdt leistet das Feld am
Teilchen Arbeit. Zählt man diese positiv, so ist
dW = ⃗ F · d⃗r = ⃗ F · ⃗vdt = q ⃗ E · ⃗vdt .
]
.
125