Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3 Elektrostatik
Die Forderung der Periodizität Q(φ + 2π) = Q(φ) an diese Lösung führt auf die Bedingung
und damit auf die Werte
exp(ı2πm) = cos 2πm + ı sin 2πm = 1
für die Separationskonstante.
Für den µ-Anteil finden wir aus Gleichung (3.142)
3.12.2 Zylindersymmetrie
m = 0, ±1, ±2, ±3, . . . ganzzahlig (3.144)
d (
1 − µ
2 ) [
]
dP
dµ dµ + l(l + 1) −
m2
1 − µ 2 P (µ) = 0 . (3.145)
Wir beschränken uns zunächst auf den Fall, dass die Lösung (3.136)
A 0 = R(r)P (µ)Q(φ)
nicht von φ abhängt, d.h. nach Gleichung (3.143) m = 0. Dann reduziert sich Gleichung
(3.145) auf die Legendresche Differentialgleichung (vergl. mit (3.78))
d (
1 − µ
2 ) dP
+ l(l + 1)P (µ)
dµ dµ
= 0 , (3.146)
d.h. P (µ) = P l (µ) (3.147)
mit l = 0, 1, 2, 3 . . .: Die allgemeine Lösung (3.136) lautet dann mit Gleichung (3.138)
A 0 (r, θ) =
∞∑
l=0
(
A l r l + B l r −(l+1)) P l (cos θ) . (3.148)
Die Konstanten A l und B l werden mit Hilfe der Orthogonalitätsrelation (3.86) der Legendre-
Polynome aus den Randbedingungen für das Potential A 0 bestimmt.
3.12.3 Entwicklung nach Legendre-Polynomen
Die Gleichungen (3.86) und (3.87) lassen sich zur Orthonormalitätsrelation
∫ 1
−1
dµP l (µ)P n (µ) =
∫ π
0
dθ sin θP l (θ)P n (θ) = 2
2n + 1 δ n,l (3.149)
zusammenfassen.
Während Gleichung (3.149) für n ≠ l bereits in Kap. 3.9.2 bewiesen wurde, beweisen wir
jetzt zunächst diese Relation für den Fall n = l: Mit der erzeugenden Funktion (3.68) folgt
[ ∞
] 2
1
1 − 2tx + t 2 = ∑
P n (x)t n .
n=0
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