Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3 Elektrostatik
folgt für Gleichung (3.10)
∫
⃗E (⃗r) =
d 3 r ′ ρ
(⃗r ′) ⃗r − ⃗r ′
∫
|⃗r − ⃗r ′ | 3 = −grad r
d 3 r ′ ρ (
⃗r ′)
|⃗r − ⃗r ′ | = −grad rΦ (⃗r) (3.13)
mit dem “skalaren Potential” oder “elektrostatischen Potential”
(
∫ ρ ⃗r ′)
(
∫ ρ ⃗r ′)
Φ (⃗r) = d 3 r ′ |⃗r − ⃗r ′ | + const. = d 3 r ′ |⃗r − ⃗r ′ | , (3.14)
da die Konstante ohne Bedeutung für die Berechnung des E-Feldes ⃗ ist.
Das elektrische Feld kann nach dem Helmholtz-Satz aus der Festlegung seiner Quellen (div E) ⃗
und Wirbel (rot E) ⃗ berechnet werden. Die Anwendung von Gleichung (2.136),
⃗∇ 2 1 1
(
r = ∆
r − r ′ r = −4πδ ⃗r − ⃗r ′) ,
r − r ′
auf Gleichung (3.14) ergibt
∫ (
∆ r Φ (⃗r) = d 3 r ′ ρ ⃗r ′) ∫
∇ ⃗ 2 1
r
|⃗r − ⃗r ′ | = −4π
Damit ist dann nach Gleichung (3.13)
(
d 3 r ′ ρ ⃗r ′) (
δ ⃗r − ⃗r ′) = −4πρ (⃗r) . (3.15)
div ⃗ E = −div grad Φ = − ⃗ ∇ 2 Φ = −∆Φ = 4πρ
und rot ⃗ E = −rot grad Φ = 0
und wir erhalten die differentiellen Feldgleichungen der Elektrostatik
div ⃗ E (⃗r) = 4πρ (⃗r) (3.16)
und rot ⃗ E (⃗r) = 0 . (3.17)
Gemäß Gleichungen (3.15) und (3.13) können wir diese Grundgleichungen alternativ auch
für das skalare Potential formulieren:
∆Φ (⃗r) = −4πρ (⃗r) (3.18)
und ⃗ E (⃗r) = −grad Φ (⃗r) . (3.19)
Gleichung (3.18) wird als Poisson-Gleichung bezeichnet.
Im Spezialfall ρ (⃗r) = 0 reduziert sich die Poisson-Gleichung auf die Laplace-Gleichung
∆Φ (⃗r) = 0 (3.20)
Die Formulierungen (3.18) und (3.20) für das skalare Potential Φ (⃗r) haben den Vorteil, dass
man nur eine skalare Funktion Φ (⃗r) statt der drei Komponenten der Vektorfunktion ⃗ E (⃗r)
benötigt.
Das Grundproblem der Elektrostatik besteht darin, aus der gegebenen Ladungsverteilung
ρ (⃗r) das Potential Φ (⃗r) oder die elektrische Feldstärke ⃗ E (⃗r) aus den formalen Lösungen
(3.14) oder (3.10) zu berechnen.
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