Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

6 Elektromagnetische Wellen und Strahlung
−R
−k
O
k
R
C 1
T 2
Abbildung 6.8: Fall (b): Integration in der negativen Halbebene
Diesmal liegen die Pole innerhalb des Integrationsgebiets C 1 +T 2 und werden im Uhrzeigersinn
(negativen Sinn) umfahren. Es folgt
∫
∫
dk 0 F (k, k 0 ) = dk 0 F (k, k 0 ) = −2πı ∑ Res F (k, k 0 )
C 1 C 1 +T 2
oder mit Gleichung (6.54)
∫
dk 0 F (k, k 0 ) = 1 ∫
dk 0 f(k 0 ) (6.56)
C 1
2k C 1 +T
[
2
1
mit f(k 0 ) =
k 0 + k − 1 ]
e −ık 0x 0
. (6.57)
k 0 − k
Hat eine beliebige komplexe Funktion f(z) einen Pol der Ordnung m für z = a, so ist das
Residuum an der Stelle durch
Res a f(z) =
1
(m − 1)! lim d m−1
[(z − a)f(z)] (6.58)
z→a dzm−1 gegeben (siehe z.B. C.R. Wiley: Advanced Engineering Mathematics, S. 806).
Die Funktion (6.57) hat zwei Pole erster (m = 1) Ordnung an den Stellen k 0 = ±k, und die
Anwendung der Formel (6.58) liefert
Res k0 =−kf(k 0 ) = lim [(k 0 − (−k))f(k 0 )]
k 0 →−k
(
= lim
[e −ık 0x 0
1 − k )]
0 + k
k 0 →−k
k 0 − k
und Res k0 =kf(k 0 ) = lim
[(k 0 − k)f(k 0 )]
k 0 →k
[ (
e −ık 0x 0 k0 − k
k 0 + k
= lim
k 0 →k
= e ıkx 0
) ]
− 1 = −e −ıkx 0
.
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