Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

6 Elektromagnetische Wellen und Strahlung
6.1.2 Ebene, monochromatische Welle
Ein Spezialfall liegt vor, wenn f(x, t) durch eine harmonische (d.h. periodische) Funktion
gegeben ist, d.h. in komplexer Schreibweise
f 1 (x − ct) ∝ e ık(x−ct) (6.12)
und f 2 (x + ct) = 0. Eine solche Lösung heißt ebene, monochromatische Welle. Die Größe
k heißt Wellenzahl. Definiert man durch die Dispersionsrelation für das Vakuum die Kreisfrequenz
ω 2 = k 2 c 2 so schreibt sich Gleichung (6.12) mit ω = kc auch als
f 1 (x − ct) ∝ e ı(kx−ωt) . (6.13)
ν = ω/2π ist die Frequenz und λ = 2π/k die Wellenlänge der ebenen, monochromatischen
Welle.
Wird die Ausbreitungsrichtung durch den Einheitsvektor ⃗κ 0 vorgegeben, so kann mithilfe des
Wellenzahlvektors
⃗ k = k⃗κ0 (6.14)
die ebene, monochromatische Welle durch
dargestellt werden.
f 1 (⃗κ 0 · ⃗r − ct) ∝ e ı(⃗ k·⃗r−ωt)
(6.15)
6.1.3 Linearkombination von ebenen, monochromatischen Wellen
Obwohl (6.15) nur eine spezielle Wellenform darstellt, so ist sie wichtig, da man jede Welle
als Überlagerung von monochromatischen Wellen beschreiben kann, d.h. wir setzen die
allgemeine Lösung von Gleichung (6.8) an als
f(x, t) =
∫ ∞
−∞
dk A(k) exp [ı(kx − ωt)] , (6.16)
wobei A(k) eine zunächst beliebige Funktion der Wellenzahl k ist. Die Lösung (6.16) heißt
Wellenpaket.
Mit dem Ansatz (6.16) folgen sofort
∂ x f =
∂xf 2 =
und ∂ t f =
∂t 2 f =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
dk ıkA(k) exp [ı(kx − ωt)] ,
dk ( −k 2) A(k) exp [ı(kx − ωt)] (6.17)
dk (−ıω)A(k) exp [ı(kx − ωt)] ,
dk (−ω 2 )A(k) exp [ı(kx − ωt)] . (6.18)
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