Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

5.6 Energiesatz der Elektrodynamik
Wir definieren die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes durch
u em (⃗r, t) = 1 (
E 2 (⃗r, t) + B 2 (⃗r, t) ) (5.54)
8π
und den Poynting-Vektor oder die Energiestromdichte
⃗S (⃗r, t) = c
4π ⃗ E (⃗r, t) × ⃗ B (⃗r, t) . (5.55)
Damit schreibt sich Gleichung (5.53) als differentielles Poynting-Theorem
∂u em
∂t
+ div ⃗ S = −⃗j · ⃗E . (5.56)
Setzen wir Gleichung (5.56) ein in Gleichung (5.50), so erhalten wir unter Ausnutzung des
Gauß-Theorems das integrale Poynting-Theorem
dW V
= − d ∫
∫
d 3 ru em (⃗r, t) − d 3 r∇ dt dt
⃗ · ⃗S (⃗r, t)
V
V
= − d ∫
∮
d 3 ru em (⃗r, t) − df dt
⃗ · ⃗S (⃗r, t) . (5.57)
V
Die Leistung des elektromagnetischen Feldes an Ladungen im Volumen V ist gleich der
Abnahme der gesamten elektromagnetischen Energie ∫ V d3 ru em im Volumen V minus dem
Energiestrom ∮ O(V ) d f ⃗ · ⃗S durch die Oberfläche des Volumens.
Mit der mechanischen Energiedichte u M :
∫
W V = d 3 ru M (⃗r, t)
V
O(V )
folgt nach Gleichung (5.50)
dW V
dt
= d dt
oder ⃗j (⃗r, t) · ⃗E (⃗r, t) = ∂ ∂t u M (⃗r, t) ,
∫
V
∫
d 3 ru M (⃗r, t) =
V
d 3 r⃗j (⃗r, t) · ⃗E (⃗r, t) ,
so dass nach Beziehung (5.56) gilt
div ⃗ S = − ∂ ∂t (u M + u em ) . (5.58)
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