Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3.12 Lösung der Laplace-Gleichung durch Separationsansatz
E 0
z
r
θ
r 0
y
x
Abbildung 3.17: Leitende Kugel im homogenen ⃗ E-Feld
Wir wählen das Potential auf dem Rand der leitenden Kugel zu
V 0 = A 0 (r 0 ) = 0 ∀µ .
Gemäß Gleichung (3.155) folgt dann aus der Forderung
A 0 (r 0 ) = b (
0 b1
+
r 0 r0
2
− E 0 r 0
)
P 1 (µ) +
∞∑
n=2
für alle µ, dass b 0 = 0, b n = 0 für n ≥ 2
b n
P n (µ)
r n+1
0
= 0
und b 1 = E 0 r0 3. Mit den nicht-verschwindenden Koeffizienten a 1 und b 1 folgt für das Potential
im Außenraum
(
E0 r 3 )
( )
0
A 0 (r ≥ r 0 , µ) =
r 2 − E 0 r P 1 (µ) = −E 0 rP 1 (µ) 1 − r3 0
r 3 . (3.156)
Für die induzierte Ladung auf der Kugeloberfläche erhält man
σ = − 1 ∂A 0
4π ∂r | r=r 0
= − P 1(µ)
4π
= 3E 0P 1 (µ)
4π
(
−2 E 0r 3 0
r 3 − E 0
)
= 3E 0 cos θ
4π
r=r 0
. (3.157)
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