Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3 Elektrostatik
Gemäß Gleichung (3.158) erhalten wir als Lösung für m ≠ 0 die assoziierten oder zugeordneten
Legendre-Polynome
P m
l (µ) ( ≡ P m (µ) ) = (1 − µ 2 ) |m|/2 dm P l (µ)
dµ m , (3.162)
die sich aus den Legendre-Polynomen berechnen lassen.
Mit der Formel von Rodrigues (3.81) für P l (µ),
d l
P l (µ) = 1
2 l l! dµ l (µ2 − 1) l ,
folgt die auch für negative Werte von m, −l ≤ m ≤ l gültige Beziehung
Unter Ausnutzung der Leibnitz-Formel
wobei
zeigt man (Übungsaufgabe), dass
Pl
m (µ) = (1 − µ2 ) |m|/2 d m+l
2 l l! dµ m+l (µ2 − 1) l . (3.163)
d n
∞
dt n [A(t)B(t)] = ∑
( [ ] [ ]
n d
n−s d
s
s)
dt n−s A(t) dt s B(t) s=0
( n n!
=
s)
(n − s)!s!
P −m
m (l − m)!
l
(µ) = (−1)
(l + m)! P l m (µ) . (3.164)
Weiterhin gilt die Orthonormalitätsrelation (Übungsaufgabe) für zugeordnete Legendre-Polynome
∫ 1
−1
dx Pp m (x)Pq m (x) = 2 (q + m)!
2q + 1 (q − m)! δ p,q . (3.165)
Für den Winkelanteil (3.141) erhalten wir mit den Lösungen (3.143) und (3.163) die sogenannten
Kugelflächenfunktionen
Y l,m (µ, φ) = N l,m Pl
m (µ) exp(ımφ) = N l,m Pl m (cos θ) exp(ımφ) (3.166)
mit m und l ganzzahlig und −l ≤ m ≤ l. N l,m ist ein Normierungsfaktor derart, dass
∫
dΩ |Y l,m (µ, φ)| 2 =
∫ 2π
0
∫ 1
dφ dµ |Y l,m (µ, φ)| 2 = 1 .
−1
,
Man erhält (Übungsaufgabe)
N l,m =
√
2l + 1 (l − m)!
4π (l + m)! . (3.167)
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