Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

6.2 Inhomogene Wellengleichung
Mit Gleichungen (6.80) und (6.81) folgt
⎛
⃗E = − 1 ∂A
⃗
c ∂t − ∇Φ ⃗ = − Q ∫
R
(t ′) ⎞ ⎛
c 2 dt ′ δ ⎝t ′ − t + ⎠ ∂ ⎝ ⃗v 0
(t ′) ⎞
⎠
c ∂t ′ κR
⎛
∫
R
(t ′) ⎞
[
+Q dt ′ δ ⎝t ′ − t + ⎠ ⃗n
c R 2 + 1 ( )]
∂ ⃗n
c ∂t ′ κR
⎛
∫
R
(t ′) ⎞
[
= Q dt ′ δ ⎝t ′ − t + ⎠ ⃗n
c R 2 + 1 ( (
∂ 1
⃗n − ⃗v ))]
0
.
c ∂t ′ κR c
Mit
und der Nullstelle s = t − (R/c) ergibt sich
∫
⃗E = Q
= Q
|κ|
= Q
|κ|
dt ′
[ ⃗n
R 2 + 1 c
[ ⃗n
R 2 + 1 c
[ (
δ F t ′)] = 1 ( )
|κ| δ t ′ − s
( )
δ t ′ − s
|κ|
(
∂ 1
∂t ′ κR
∂
∂t ′ ( 1
κR
[ ⃗n
R 2 + 1 (
∂ 1
c ∂t ′ κR
(
⃗n − ⃗v ))]
0
c
(
⃗n − ⃗v 0
c
))]
(
⃗n − ⃗v ))]
0
c
t ′ =t− R (t ′ )
c
ret
, (6.82)
wobei der Index ret die Berechnung zur retardierten Zeit t ′ = t − R(t ′ )/c kennzeichnet, und
zur Erinnerung
(
κ
⃗r, t ′) = 1 − ⃗n · ⃗v 0
c
Nun ist
⎛
1 ∂
⃗n = 1 ∂
⎝ ⃗r − ⃗r 0
(t ′) ⎞
√
⎠
c ∂t ′ c ∂t ′ (⃗r − ⃗r 0 (t ′ )) 2
=
=
= 1
cR
, ⃗n = ⃗ R
R , ⃗ R = ⃗r − ⃗r0
(
t ′) .
⎡
(
1
⎣R
(0
cR 2 − ˙⃗r
(
0 t ′)) (
−
(⃗r − ⃗r 0 t ′)) 1 2
(⃗r − ⃗r 0 t ′)) ·
(− ˙⃗r 0
(t ′)) ⎤
√
⎦
2
(⃗r − ⃗r 0 (t ′ )) 2
[
(
1
(
cR 2 −R⃗v 0 t ′) R
+ ⃗ ( (
⃗R · ⃗v0 t ′))] ⃗R ⃗R · ⃗v0
(t ′)) (
⃗v 0 t ′)
=
R
cR 3 −
cR
[
⃗n
(⃗n · ⃗v 0
(t ′)) (
− ⃗v 0 t ′)] 157