Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

5.3 Verschiebungsstrom (oder: wie Maxwell das Ampere-Gesetz reparierte)
5.3 Verschiebungsstrom (oder: wie Maxwell das
Ampere-Gesetz reparierte)
Maxwells Ausweg aus der Inkonsistenz war eine Modifikation des zeitabhängigen Ampere-
Gesetzes (5.6) durch den Ansatz
⃗∇ × ⃗ B (⃗r, t) = ⃗χ (⃗r, t) , (5.10)
so dass ⃗ ∇ ·
(
⃗∇ × ⃗ B (⃗r, t)
)
= ⃗ ∇ · ⃗χ (⃗r, t) = 0 (5.11)
gelten muss. Man muss also eine divergenzfreie (wegen (5.11)) Vektorfunktion ⃗χ finden, die
für stationäre Ströme in das Ampere-Gesetz rot ⃗ B = 4π⃗j/c der Magnetostatik übergeht.
Ein sinnvoller Ansatz für ⃗χ ist
⃗χ (⃗r, t) ≡ 4π c ⃗ j (⃗r, t) + 1 c
∂ ⃗ E (⃗r, t)
∂t
denn zum einen ist dann bei Verwendung des Coulomb-Gesetzes (5.5)
( )
⃗∇ · ⃗χ (⃗r, t) = 4π (
⃗∇ · ⃗j (⃗r, t))
+ 1 ∂ ⃗∇ · E ⃗ (⃗r, t)
c
c ∂t
= 4π (
⃗∇ · ⃗j (⃗r, t))
+ 4π ∂ (ρ (⃗r, t))
c
c ∂t
= 4π [
]
∂ (ρ (⃗r, t))
⃗∇ · ⃗j (⃗r, t) + = 0 ,
c
∂t
, (5.12)
wobei im letzten Schritt die Ladungserhaltung (5.9) verwandt wurde. Zum anderen führen
im stationären Grenzfall (∂/∂t → 0) Gleichungen (5.10) und (5.12) direkt auf das Ampere-
Gesetz der Magnetostatik:
⃗∇ × ⃗ B (⃗r) = 4π c ⃗ j (⃗r) .
Setzen wir im allgemeinen Fall (5.12) in Beziehung (5.10) ein, so erhalten wir als richtige
Verallgemeinerung des Ampere-Gesetzes:
⃗∇ × ⃗ B (⃗r, t) = 4π c ⃗ j (⃗r, t) + 1 c
∂ ⃗ E (⃗r, t)
∂t
. (5.13)
Der Term (1/c)∂ ⃗ E/∂t wird Verschiebungsstrom genannt. Mit seiner Einführung gelangen
wir zur endgültigen Form der elektromagnetischen Feldgleichungen im Vakuum, den sogenannten
Maxwell-Gleichungen
⃗∇ × E ⃗ (⃗r, t) + 1 ∂B ⃗ (⃗r, t)
c ∂t
= 0 , (5.14)
⃗∇ · ⃗E (⃗r, t) = 4πρ (⃗r, t) , (5.15)
⃗∇ × B ⃗ (⃗r, t) − 1 ∂E ⃗ (⃗r, t)
c ∂t
= 4π c ⃗ j (⃗r, t) , (5.16)
⃗∇ · ⃗B (⃗r, t) = 0 . (5.17)
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