Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3.9 Entwicklung des skalaren Potentials einer statischen,begrenzten Ladungsverteilung nach Multipolen
gerade die Gesamtladung unserer Ladungsverteilung.
Den Multipol 1. Ordnung
∫ (
Q 1 = d 3 r ′ ρ ⃗r ′) µr ′ (3.89)
bezeichnet man als Dipolmoment.
Den Multipol 2. Ordnung
∫
Q 2 =
(
d 3 r ′ ρ ⃗r ′) 1 (
3µ 2 − 1 ) ( r ′) 2
2
(3.90)
bezeichnet man als Quadrupolmoment. Die Multipolentwicklung (3.69) lautet dann
A 0 (⃗r) = Q 0
r + Q 1
r 2 + Q 2
r 3 + . . . . (3.91)
Für große Entfernungen dominiert der erste Term Q 0 /r! Bei großen Abständen verhält sich
die Ladungsverteilung also wie eine Punktladung im Ursprung mit der Gesamtladung q = Q.
Enthält die Ladungsverteilung gleichviel positive wie negative Ladungsträger, ist die Gesamtladung
Q = 0. In diesem Fall ist das Dipolmoment in der Potentialentwicklung (3.91) der
dominante Term für große Entfernungen (falls nicht auch dieser bei entsprechender symmetrischer
Ladungsanordnung gleich Null ist), also
A 0 (⃗r, r ≫ 1) ≃ Q 1
r 2
Mit µ = cos θ, θ = ∠(⃗r, ⃗r ′ ) gilt
so dass das Dipolpotential (3.92) lautet
= 1 r 2 ∫
r ′ cos θ =
A Dipol (⃗r) = ⃗r ∫
r 3 ·
(
d 3 r ′ ρ ⃗r ′) µr ′ = A Dipol (⃗r) . (3.92)
⃗r · ⃗r′
r
,
(
d 3 r ′ ⃗r ′ ρ ⃗r ′) . (3.93)
Dies schreiben wir als
A Dipol (⃗r) =
mit der alternativen Darstellung des Dipolmoments durch
∫
⃗p =
⃗r · ⃗p
r 3 (3.94)
(
d 3 r ′ ⃗r ′ ρ ⃗r ′) . (3.95)
Das Dipolmoment (3.95) hängt von der Geometrie (Größe, Form und Dichte) der Ladungsverteilung
ab.
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