Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2.5 Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten
2.5.3 Divergenz
Zur Berechnung von
div ⃗ A = ⃗ ∇ · (A 1 ⃗e q1 + A 2 ⃗e q2 + A 3 ⃗e q3 ) = ⃗ ∇ · (A 1 ⃗e q1 ) + ⃗ ∇ · (A 2 ⃗e q2 ) + ⃗ ∇ · (A 3 ⃗e q3 )
benutzen wir die Darstellungen (2.84). Wir erhalten für
⃗∇ · (A 1 ⃗e q1 ) = ∇ ⃗ ·
(A 1 h 2 h 3∇q2 ⃗ × ∇q ⃗ )
3
.
Mit der Produktregel (2.59) folgt
[ (
⃗∇ · (A 1 ⃗e q1 ) = ⃗∇ (A1 h 2 h 3 )]
· ⃗∇q2 × ∇q ⃗ ) (
3 + A 1 h 2 h 3∇ ⃗ · ⃗∇q2 × ∇q ⃗ )
3
.
Der zweite Term in dieser Gleichung verschwindet, denn nach Anwendung der Produktregel
(2.60) gilt
(
⃗∇ · ⃗∇q2 × ∇q ⃗ )
3 = ∇q ⃗ 3 · rot grad q 2 − ∇q ⃗ 2 · rot grad q 3 = 0
gemäß Gleichung (2.67). Es verbleibt unter Ausnutzung von (2.82)
[ (
⃗∇ · (A 1 ⃗e q1 ) = ⃗∇ (A1 h 2 h 3 )]
· ⃗∇q2 × ∇q ⃗ )
3
[ (
= ⃗∇ ⃗eq2
(A1 h 2 h 3 )]
· × ⃗e )
q 3
h 2 h 3
[
= ⃗∇
⃗e q1
(A1 h 2 h 3 )]
· .
h 2 h 3
Jetzt benutzen wir die Darstellung (2.81) für grad (A 1 h 2 h 3 ) und erhalten aufgrund der
Orthogonalitätsrelation (2.73)
[
]
1 ∂ (A 1 h 2 h 3 ) 1 ∂ (A 1 h 2 h 3 ) 1 ∂ (A 1 h 2 h 3 ) ⃗e q1
⃗∇ · (A 1 ⃗e q1 ) = ⃗e q1 + ⃗e q2 + ⃗e q3 ·
h 1 ∂q 1 h 2 ∂q 2 h 3 ∂q 3 h 2 h 3
1 ∂
=
(A 1 h 2 h 3 ) . (2.85)
h 1 h 2 h 3 ∂q 1
Ebenso berechnen wir
⃗∇ · (A 2 ⃗e q2 ) =
und ⃗ ∇ · (A3 ⃗e q3 ) =
1 ∂
(A 2 h 1 h 3 )
h 1 h 2 h 3 ∂q 2
1 ∂
(A 3 h 1 h 2 ) ,
h 1 h 2 h 3 ∂q 3
so dass
div ⃗ A =
[
1 ∂
(A 1 h 2 h 3 ) +
h 1 h 2 h 3 ∂q 1
∂
∂q 2
(A 2 h 1 h 3 ) +
∂ ]
(A 3 h 1 h 2 )
∂q 3
. (2.86)
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