Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

6 Elektromagnetische Wellen und Strahlung
mit ω = kc und kr = ⃗ k · ⃗r. Dann gilt
∂⃗p ( t − r ) ∫
c
=
∂t
(
rot ⃗p t − r ) ∫
=
c
= ı ⃗r ∫
r ×
und
(
div ⃗p t − r )
c
( ( ))
dω (−ıω) ⃗p ω exp ı ⃗k · ⃗r − ωt
( ) ( ( ))
dω ı ⃗k × ⃗pω exp ı ⃗k · ⃗r − ωt
( ( ))
dω k⃗p ω exp ı ⃗k · ⃗r − ωt
∫ ( ) ( ( ))
= dω ı ⃗k · ⃗pω exp ı ⃗k · ⃗r − ωt
= ı ⃗r ∫
( ( ))
r · dω k⃗p ω exp ı ⃗k · ⃗r − ωt
Setzen wir in die beiden letzten Gleichungen k = ω/c ein, erhalten wir für die sogenannten
retardierten Ableitungen
und
(
rot ⃗p t − r )
c
(
div ⃗p t − r )
c
= ı ∫
⃗r
c r ×
= − 1 ⃗r
c r × ˙⃗p
= ı ⃗r
c r ·
= − 1 c
∫
⃗r
r · ˙⃗p
( ( ))
dω ω⃗p ω exp ı ⃗k · ⃗r − ωt
(
t − r )
c
dω ω⃗p ω exp
(
t − r )
c
( ( ))
ı ⃗k · ⃗r − ωt
,
(6.117)
. (6.118)
Die Verwendung der letzten Beziehung (6.118) liefert für Gleichung (6.115)
[ ( )]
⃗p t −
r
c
⃗∇ ·
r
und damit für das Potential (6.114)
⃗p · ⃗r
= −
r 3 − 1 [
cr 2 ⃗r · ˙⃗p
(
t − r )]
c
Φ = ˙⃗p · ⃗r
cr 2
⃗p · ⃗r
+
r 3 . (6.119)
Die direkte Berechnung des Potentials φ aus Gleichung (6.110) wäre schwieriger, weil der
erste Entwicklungsterm in (v/c) verschwindet.
Gleichung (6.119) besteht aus zwei Anteilen: der erste Term (∝ r −1 ) folgt aus der Retardierung
und kann in der Nahzone (r ≪ λ) gegenüber dem zweiten Term (∝ r −2 ) vernachlässigt
werden. Dieser zweite Term ergibt dann das bekannte (siehe Kap. 3.9.4) statische Diplomoment
(⃗p · ⃗r/r 3 ).
Bei großen Entfernungen (r ≫ λ) überwiegt der Retardierungsanteil
Φ (r ≫ λ) ≃ ˙⃗p · ⃗r
cr 2 ∝ r−1 .
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