Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2.6 Integralrechnung mit Vektoren
2. ∮
( ⃗ ∇T ) · d ⃗ l = 0 (2.100)
bei geschlossenem Weg, weil die Endpunkte gleich sind T (b) − T (a) = 0.
Als Beispiel betrachten wir die Funktion T = xy 2 und die Punkte a = (0, 0, 0) und b =
(2, 1, 0). Obwohl das Integral wegunabhängig ist, müssen wir einen Integrationsweg festlegen.
Wie in Abbildung 2.7 skizziert, gehen wir zunächst entlang der x-Achse (1. Schritt) und dann
parallel zur y-Achse (2. Schritt). Nun ist d ⃗ l = dx⃗i + dy⃗j + dz ⃗ k. Desweiteren ist für unser
Beispiel ⃗ ∇T = y 2 ⃗i + 2xy⃗j. Im 1. Schritt verändert sich x von 0 → 2, während y = 0 bleibt,
y
Weg 3
1
a
1
b
Weg 2
x
Weg 1
z
Abbildung 2.7: Zur Integration von ⃗ ∇T
so dass dy = dz = 0. Damit folgt ∇T ⃗ · d ⃗ l = y 2 dx = 0, wegen y = 0 auf diesem Abschnitt,
und ∫ ⃗ 1
∇T · d ⃗ l = 0.
Im 2. Schritt verändert sich y von 0 → 1, während x = 2 bleibt, so dass dx = dz = 0.
Damit folgt ∇T ⃗ · d ⃗ l = 2xydy = 4ydy, weil x = 2 auf diesem Abschnitt, und ∫ ⃗ 2
∇T · d ⃗ l =
∫ 1
0 4ydy = [2y2 ] 1 0 = 2.
Addieren wir beide Integrale auf, so folgt
∫ b ∫ ∫
⃗∇T · d ⃗ l = ⃗∇T · d ⃗ l + ⃗∇T · d ⃗ l = 2 .
a
1
2
Das Ergebnis stimmt überein mit T (b) − T (a) = 2 − 0 = 2.
Um die Wegunabhängigkeit zu illustrieren, integrieren wir entlang des Wegs 3 in Abbildung
2.7, der der geraden Linie y = x/2 von a nach b entspricht. Dabei ändert sich x von 0 → 2
und y gemäß der Ableitung dy = dx/2, so dass
⃗∇T · d ⃗ l = y 2 dx + 2xydy = 1 ( ) 1
4 x2 dx + 2x(x/2)
2 dx = 3 4 x2 dx
so dass
∫
3
⃗∇T · d ⃗ l =
∫ 2
0
[ ]
3 1 2
4 x2 dx =
4 x3 = 2 .
0
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